Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo :
Nếu hai số dương bằng nhau thì trung bình cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau.
Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo :
Nếu hai số dương bằng nhau thì trung bình cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau.
Định lí đảo : “Nếu hai số dương a, b có trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau thì chúng bằng nhau”.
Chứng minh.
$\frac{a+b}{2}$ =$\sqrt[]{ab}$
Khi đó a+b −2$\sqrt[]{ab}$ =0 ⇔( $\sqrt[]{a}$ – $\sqrt[]{b }$ )$^{2}$ = 0 ⇒ a = b
Vậy điều kiện cần và đủ để hai số dương bằng nhau là trung bình cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau.
Định lí đảo: nếu trung bình cộng và trung bình nhân của hai số bằng nhau thì đó là hai số dương.
Chứng minh:
$\dfrac{a+b}{2}$
Theo BĐT Cosi: $\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b$
Mà điều kiện của $a, b$ là các số dương
$\Rightarrow a=b>0$
$\to$ Điều kiện cần và đủ để hai số dương bằng nhau là trung bình cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau.