Help=) Cho a+b=1. Tìm Min: $a^{2}$ + ab+ $b^{2}$ 05/12/2021 Bởi Eliza Help=) Cho a+b=1. Tìm Min: $a^{2}$ + ab+ $b^{2}$
Đáp án: $\text{Min} (a^2 +ab+b^2) = \dfrac{3}{4}$ Giải thích các bước giải: + Ta có : $A =1-b$ $a^2 + ab + b^2 = a^2 +2ab +b^2 – ab$ $=(a+b)^2 – ab$ $= 1^2- ab$ $= 1- a.(1-a)$ $= 1 – a + a^2$ $= a^2 – 2a.\dfrac{1}{2} + (\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$ $= (a-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} (*)$ $\to (*) \ge \dfrac{3}{4} (\forall (a-\dfrac{1}{2})^2 \ge 0)$ Bình luận
Đáp án+Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l}a^2+ab+b^2\\=a^2+2ab+b^2-ab\\=(a+b)^2-ab\\=1-ab\\+)CMBĐT:ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\\↔4ab \leq (a+b)^2\\↔4ab \leq a^2+2ab+b^2\\↔a^2-2ab+b^2 \geq 0\\(a-b)^2 \geq 0(luôn đúng)\\\text{dấu = xảy ra khi a=b}\\↔ab \leq \dfrac{1}{4}\\↔1-ab \geq \dfrac{3}{4}\\hay a^2+ab+b^2 \geq \dfrac{3}{4}\\\text{dấu = xảy ra khi a=b=1/2}\\\end{array}$ Bình luận
Đáp án:
$\text{Min} (a^2 +ab+b^2) = \dfrac{3}{4}$
Giải thích các bước giải:
+ Ta có : $A =1-b$
$a^2 + ab + b^2 = a^2 +2ab +b^2 – ab$
$=(a+b)^2 – ab$
$= 1^2- ab$
$= 1- a.(1-a)$
$= 1 – a + a^2$
$= a^2 – 2a.\dfrac{1}{2} + (\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$
$= (a-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} (*)$
$\to (*) \ge \dfrac{3}{4} (\forall (a-\dfrac{1}{2})^2 \ge 0)$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}a^2+ab+b^2\\=a^2+2ab+b^2-ab\\=(a+b)^2-ab\\=1-ab\\+)CMBĐT:ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\\↔4ab \leq (a+b)^2\\↔4ab \leq a^2+2ab+b^2\\↔a^2-2ab+b^2 \geq 0\\(a-b)^2 \geq 0(luôn đúng)\\\text{dấu = xảy ra khi a=b}\\↔ab \leq \dfrac{1}{4}\\↔1-ab \geq \dfrac{3}{4}\\hay a^2+ab+b^2 \geq \dfrac{3}{4}\\\text{dấu = xảy ra khi a=b=1/2}\\\end{array}$