help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
cho hình bình hành ABCD, gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD
a, Tứ giác DEBF là hình gì?
b, Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,EF đồng quy
c, Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự tại M và N. Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành
a,
Do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành
⇒$EB//DF$;$AB=CD$
⇒$EB//DF;\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}$
Hay $EB//DF;EB=DF$
⇒Tứ giác $DEBF$ là hình bình hành
b,
Do tứ giác $DEBF$ là hình bình hành
⇒$2$ đường thẳng $EF;BD$ cắt nhau tại trung điểm của $BD(1)$
Do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành
⇒$2$ đường thẳng $AC;BD$ cắt nhau tại trung điểm của $BD(2)$
Từ $(1)(2)$⇒Ba đường thẳng $AC;BD;EF$ đồng quy
c,
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ AC là đường chéo chia tứ giác ABCD thành 2 tam giác có diện tích băng nhau
⇒$S_{ADC}=S_{ABC}$
⇒$\dfrac{1}{2}.DM.AC=\dfrac{1}{2}.BN.AC$
⇒$DM=BN$
Mà $DE=BF$
⇒$DE-DM=BF-BN$
Hay $EM=NF$
Mà $EM//NF$
⇒tứ giác EMFN là hình bình hành
Vì ABCD là hbh(gt)
=)AB=CD AB//CD
Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD
=)AE=BE=DF=FC
xét Tứ giác DEBF có BE//DF(AB//CD) ,BE=DF(cmt)
=)Tứ giác DEBF là hbh
b)gọi AC giao BD tại O .Mà ABCD là hbh
=)AC giao BD tại trung điểm của mỗi đường .Mà AC giao BD tại O=)O là trung điểm của AC,BD (1)
Vì Tứ giác DEBF là hbh (câu a)=)BD giao EF tại trung điểm mỗi đường
Mà O là trung điểm của BD =)EF đi qua trung điểm O của BD (2)
từ (1) và (2) ta có AC,BD,EF đồng quy tại O
c) Ta có ABCD là hbh Mà có AC là đường chéo chia tứ giác ABCD thành 2 tam giác có diện tích băng nhau
=)diện tích tam giác ADC=diện tích tam giác ABC
=)1/2*DM*AC=1/2*BN*AC
=)DM=BN
Xét tứ giác BMDN có BN//DM(BEDF là hbh), DM=BN(cmt)
=)tứ giác BMDN là hbh
=)MN giao BD tại trung điểm mỗi đường
Mà O là trung điểm của BD(cmt)
=)O cũng là trung điểm của MN
Xét tứ giác EMFN có O là trung điểm của MN và EF(cmt)
=)tứ giác EMFN là hình bình hành