Hết điểm! Tìm `m` để pt sau có `2` nghiệm phân biệt: `m\sqrt(x^6+1)=3(x^4+2)`

0 bình luận về “Hết điểm! Tìm `m` để pt sau có `2` nghiệm phân biệt: `m\sqrt(x^6+1)=3(x^4+2)`”

1. Đáp án: $m > \dfrac{6(\sqrt{3} – 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} – 3} } $

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $ y = x² $

   $PT ⇔ 3(y² – y + 1) – m\sqrt{(y + 1)(y² – y + 1)} + 3(y + 1) = 0 (*)$

   Chia 2 vế của $(*)$ cho $y + 1$ và đặt :

   $ t = \sqrt{\dfrac{y² – y + 1}{y + 1}} = \sqrt{y + 1 + \dfrac{3}{y + 1} – 3} ≥ \sqrt{2\sqrt{3} – 3}$ 

   Ta có PT bậc 2 theo $t :  3t² – mt + 3 = 0(**)$

   Để PT đã cho có 2 nghiệm $x$ phân biệt 

   $ ⇔ (*)$ có 1 nghiệm duy nhất $y > 0 (***)$

   $ ⇔ (**)$ có nghiệm $t $ thỏa $ 0 < t_{1} < \sqrt{2\sqrt{3} – 3} < t_{2}$

   Cần đồng thời 2 điều kiện:

   1) $ Δ = m² – 36 ≥ 0 ⇔ m ≥ 6 (1)$ ( vì từ PT ban đầu $ ⇒ m > 0)$

   2) $f(0) >0; f(\sqrt{2\sqrt{3} – 3}) < 0$. Với $f(t) = 3t² – mt + 3 $

   $ f(0) = 3 > 0$

   $ f(\sqrt{2\sqrt{3} – 3}) = 3(2\sqrt{3} – 3) – m\sqrt{2\sqrt{3} – 3} + 3 < 0$

   $ ⇔ m\sqrt{2\sqrt{3} – 3} ≥ 6(\sqrt{3} – 1) ⇔ m > \dfrac{6(\sqrt{3} – 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} – 3} } (2)$

   Kết hợp $(1); (2) ⇒ m > \dfrac{6(\sqrt{3} – 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} – 3} } $

   Khi đó $: t_{2} = \dfrac{1}{t_{1}} > \dfrac{1}{\sqrt{2\sqrt{3} – 3}} > 1$ 

   Từ $ t_{2} = \sqrt{\dfrac{y² – y + 1}{y + 1}} ⇔ t_{2}²(y + 1) = y² – y + 1$

   $ ⇔ y² – (t_{2}² + 1)y + 1 – t_{2}² = 0 $

   $ ⇒ y_{1}y_{2} = 1 – t_{2}² < 0 $ thỏa mãn $(***)$

    

   Bình luận