HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. CMR:
a, AMND là hình bình hành
b, DMBN là hình bình hành
c, Gọi O là trung điểm của MN. CM A, O, C thẳng hành
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia CB, CD lần lượt tại E, F. CM:
a, ADBE, ABDF là hình bình hành
b, Các đoạn thẳng AC, ED, BF gặp nhau tại một điểm
Bài 1: Sửa đề: $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$
Ta có:
$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB \, (gt)$
$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD \, (gt)$
$AB = CD \, (gt)$
$\Rightarrow AM = MB = CN = ND$
Ta lại có: $AB//CD \, (gt)$
$\Rightarrow AM//ND$
Do đó $AMND$ là hình bình hành
Tương tự, xét tứ giác $DMBN$ có:
$MB = ND$
$MB//ND \, (AB//CD)$
Do đó $DMBN$ là hình bình hành
Xét tứ giác $AMCN$ có:
$AM = CN$
$AM//CN \, (AB//CD)$
Do đó $AMCN$ là hình bình hành
Ta lại có:
$O$ là trung điểm đường chéo $MN$
$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $AC$
Hay $A,O,C$ thẳng hàng
Bài 2:
a) Xét tứ giác $ADBE$ có:
$AD//BE \, (AD//BC)$
$AE//BD \, (gt)$
Do đó $ADBE$ là hình bình hành
Xét tứ giác $ABDF$ có:
$AB//DF \, (AB//CD)$
$AF//BD \, (gt)$
Do đó $ABDF$ là hình bình hành
b) Ta có:
$ADBE$ là hình bình hành (câu a)
$\Rightarrow AD = BE$
mà $AD = BC \, (gt)$
nên $BE = BC$
$\Rightarrow B$ là trung điểm $BE$
$\Rightarrow FB$ là trung tuyến ứng với cạnh $BE$ $(1)$
Chứng minh tương tự, ta được:
$DF = DC \, (=AB)$
$\Rightarrow ED$ là trung tuyến ứng với cạnh $CF$ $(2)$
$AE = AF \, (= BD)$
$\Rightarrow CA$ là trung tuyến ứng với cạnh $EF$ $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow AC,ED,BF$ đồng quy