Hướng dẫn mik hướng giải bài này với (Ko cần giải) Giải pt \[Cos(x)^{3} – Sin(x)^{3} + 1 = 0\] 01/07/2021 Bởi Remi Hướng dẫn mik hướng giải bài này với (Ko cần giải) Giải pt \[Cos(x)^{3} – Sin(x)^{3} + 1 = 0\]
Đáp án: $\left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x =-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$ Giải thích các bước giải: $\cos^3x – \sin^3x + 1 = 0$ $(\cos x – \sin x)^3 – 3\cos x\sin x(\cos x – \sin x) + 1 = 0$ Đặt $t = \cos x – \sin x \quad (|t| \leq \sqrt2)$ $\Rightarrow t^2 = 1 – 2\sin xcos x$ $\Rightarrow \dfrac{1 – t^2}{2}=\sin x\cos x$ Phương trình trở thành: $t^3 – 3t.\dfrac{1 – t^2}{2} + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 5t^3 – 3t + 2 = 0$ $\Leftrightarrow (t+1)(5t^2 – 5t + 2) = 0$ $\Leftrightarrow t + 1 = 0$ $\Leftrightarrow t = -1$ Ta được: $\cos x – \sin x = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt2\cos\left(x +\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ $\Leftrightarrow \cos\left(x +\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\\x + \dfrac{\pi}{4} =-\dfrac{\pi}{4} + k2\pi\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x =-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$ Bình luận
$\cos^3x-\sin^3x+1=0$ $\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)+1=0$ (*) Đặt $t=\cos x-\sin x$ $\Leftrightarrow t^2=\cos^2x+\sin^2x-2\sin x\cos x$ $\Leftrightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}$ Thay vào (*): $t(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t^2)+1=0$ $\Leftrightarrow 1,55t-0,5t^2+1=0$ Mặt khác $\cos x-\sin x=\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)$ Giải phương trình tìm t, thay $t=\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)$, giải pt cơ bản. Bình luận
Đáp án:
$\left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x =-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$
Giải thích các bước giải:
$\cos^3x – \sin^3x + 1 = 0$
$(\cos x – \sin x)^3 – 3\cos x\sin x(\cos x – \sin x) + 1 = 0$
Đặt $t = \cos x – \sin x \quad (|t| \leq \sqrt2)$
$\Rightarrow t^2 = 1 – 2\sin xcos x$
$\Rightarrow \dfrac{1 – t^2}{2}=\sin x\cos x$
Phương trình trở thành:
$t^3 – 3t.\dfrac{1 – t^2}{2} + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 5t^3 – 3t + 2 = 0$
$\Leftrightarrow (t+1)(5t^2 – 5t + 2) = 0$
$\Leftrightarrow t + 1 = 0$
$\Leftrightarrow t = -1$
Ta được:
$\cos x – \sin x = 1$
$\Leftrightarrow \sqrt2\cos\left(x +\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Leftrightarrow \cos\left(x +\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\\x + \dfrac{\pi}{4} =-\dfrac{\pi}{4} + k2\pi\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x =-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$
$\cos^3x-\sin^3x+1=0$
$\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)+1=0$ (*)
Đặt $t=\cos x-\sin x$
$\Leftrightarrow t^2=\cos^2x+\sin^2x-2\sin x\cos x$
$\Leftrightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}$
Thay vào (*):
$t(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t^2)+1=0$
$\Leftrightarrow 1,55t-0,5t^2+1=0$
Mặt khác $\cos x-\sin x=\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)$
Giải phương trình tìm t, thay $t=\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)$, giải pt cơ bản.