KHÓ NHA A =$\frac{\sqrt[]{x}}{2\sqrt[]{x}+1}$+ $\frac{x-1}{2x-\sqrt[]{x}-1}$ .($\frac{2x\sqrt[]{x}-x-\sqrt[]{x}}{x\sqrt[]{x}+1}$- $\frac{x-\sqrt[]{x}}

Đáp án:

b) \(Min =  – \dfrac{1}{3}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)DK:x \ge 0;x \ne 1\\
A = \dfrac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}.\left[ {\dfrac{{2x\sqrt x  – x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 1}}.\left[ {\dfrac{{2x\sqrt x  – x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right]\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 1}}.\dfrac{{2x\sqrt x  – x – \sqrt x  – x\sqrt x  + x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 1}}.\dfrac{{x\sqrt x  – 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{x\sqrt x  – 2\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{x\sqrt x  – x + \sqrt x  + x\sqrt x  – 2\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{2x\sqrt x  – x – \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {2\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {x – \sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x  + 1}}\\
Thay:x = 7 – 4\sqrt 3 \\
 = 4 – 2.2.\sqrt 3  + 3 = {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^2}\\
 \to A = \dfrac{{7 – 4\sqrt 3  – \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{{7 – 4\sqrt 3  – \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}}  + 1}}\\
 = \dfrac{{7 – 4\sqrt 3  – 2 + \sqrt 3 }}{{7 – 4\sqrt 3  – 2 + \sqrt 3  + 1}} = \dfrac{{1 – \sqrt 3 }}{3}\\
c)A = \dfrac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x  + 1}} = \dfrac{{x – \sqrt x  + 1 – 1}}{{x – \sqrt x  + 1}} = 1 – \dfrac{1}{{x – \sqrt x  + 1}}\\
 = 1 – \dfrac{1}{{x – 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}}}\\
 = 1 – \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}}\\
Do:{\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0\\
 \to {\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\
 \to \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} \le \dfrac{4}{3}\\
 \to  – \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} \ge  – \dfrac{4}{3}\\
 \to 1 – \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} \ge  – \dfrac{1}{3}\\
 \to Min =  – \dfrac{1}{3}\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  – \dfrac{1}{2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}
\end{array}\)