Kính nhờ các anh chị giải giùm em bài toán sau, em xin cám ơn nhiều nhiều: Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn: 2.2^2 + 3.2^3 + 4.2^4 +

Đáp án: $n=9$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$S=2.2^2+3.2^3+4.2^4+…+(n-1).2^{n-1}+n.2^n$

$\to 2S=2.2^3+3.2^4+4.2^5+…+(n-1).2^{n}+n.2^{n+1}$

$\to 2S-S=n.2^{n+1}-(2^n+2^{n-1}+…+2^4+2^3)-2.2^2$

$\to S=n.2^{n+1}-(2^n+2^{n-1}+…+2^4+2^3)-8$

Mà $A=2^n+2^{n-1}+…+2^4+2^3$

$\to 2A=2^{n+1}+2^{n}+…+2^5+2^4$

$\to 2A-A=2^{n+1}-2^3$

$\to A=2^{n+1}-8$

$\to S=n.2^{n+1}-(2^{n+1}-8)-8$

$\to S=n.2^{n+1}-2^{n+1}+8-8$

$\to S=(n-1).2^{n+1}$

$\to (n-1).2^{n+1}=8192=2^{13}$

Nếu $n-1\quad\not\vdots\quad 2\to n-1=1\to n=2$ 

Thử lại $\to n=2$ loại

$\to n-1\quad\vdots\quad 2\to n$ lẻ

$\to 2^{n+1}\le 2^{13}\to n+1\le 13$
$\to n\le 12$

$\to n\in\{1,3,5,7,9,11\}$

Thử lại $\to n=9$