LÀM ƠN GIÚP MÌNH VỚI NHA
1. Cho phương trình: x² – 2(m-1)x + m² + m -1= 0
a) Giải phương trình với m = 0
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1/x1 + 1/x2 =4
2. Cho phương trình 1/2 x² – m² + 4m – 1 =0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1/x1 + 1/x2 = x1 + x2
Bài 1:
${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}+m-1=0$
a)
Với $m=0$, phương trình trở thành:
${{x}^{2}}+2x-1=0$
$\Delta ={{2}^{2}}-4.1.\left( -1 \right)=8\to \sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}$
$\to $ phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$\to\left[\begin{array}{I}x_1=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}\\x_2=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}\end{array}\right.$
b)
Để phương trình có hai nghiệm:
$\to \Delta \ge 0$
$\to {{\left[ -2\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-4.1\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)\ge 0$
$\to -12m+8\ge 0$
$\to m\le \dfrac{2}{3}$
$\to $Theo hệ thức Vi-et, ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2+m-1\end{cases}$
$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=4$
$\to \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4$
$\to {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$
$\to 2m-2-4\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0$
$\to -4{{m}^{2}}-2m+2=0$
$\to -2\left( 2m-1 \right)\left( m+1 \right)=0$
$\to\left[\begin{array}{I}m=\dfrac{1}{2}\,\,\,\left(nhan\right)\\m=-1\,\,\,\left(nhan\right)\end{array}\right.$
Bài 2:
$\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-{{m}^{2}}+4m-1=0$
$\to {{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+8m-2=0$
a)
Với $m=1$, phương trình trở thành:
${{x}^{2}}+4=0$ ( vô lý )
Vậy phương trình vô nghiệm
b)
$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,\,\,\,\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne 0 \right)$
Để phương trình có hai nghiệm:
$\to \Delta ‘\ge 0$
$\to 2{{m}^{2}}+8m-2\ge 0$
Xét $\Delta ‘=0\to 2{{m}^{2}}-8m+2=0$
Khi đó phương trình trở thành
$\,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=0$
$\to {{x}_{1}}={{x}_{2}}=0$ ( không thỏa mãn vì ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne 0$ )
Vậy để biểu thức trên xảy ra thì
phương trình phải có hai nghiệm phân biệt
$\to \Delta ‘>0$
$\to 2{{m}^{2}}-8m+2>0$
$\to {{m}^{2}}-4m+1>0$
$\to $theo hệ thức Vi-et, ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=0\\x_1x_2=-2m^2+8m-2\end{cases}$
$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$
$\to \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$
$\to \dfrac{0}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=0$
$\to 0=0$ ( luôn đúng )
Vậy với ${{m}^{2}}-4m+1>0$ thì $\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$
$1)$ $x^2 – 2(m-1)x + m^2+m-1=0$
$ a)$ Thay $m=0$ ta có phương trình $x^2 +2x -1 = 0$
$\Delta’ = 1^2 – (-1) = 2>0 \to$ PT có hai nghiệm phân biệt
$x_1 = \dfrac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = -1 + \sqrt{2}$
$x_2 = \dfrac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = -1 – \sqrt{2}$
Vậy với $m=0$ thì PT có nghiệm $x \in \{ -1 + \sqrt{2} ; -1 – \sqrt{2} \}$
$b)$ $ \Delta’ = (m-1)^2 – (m^2+m-1) = m^2-2m +1 – m^2 -m +1 = -3m +2 $
Để PT có hai nghiệm thì $ -3m +2 \ge 0 \to m \le \dfrac{2}{3}$
Theo hệ thức Viète ta có
$\begin{cases} x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} = 2(m-1) \\\\\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = m^2+m-1 \\\end{cases}$
Ta có $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 4$
$\to \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} = 4 \to 2(m-1) = 4*(m^2+m-1)$
$\to 4m^2 +4m -4 – 2m +2 = 0$
$ \to 4m^2 +2m -2 = 0$
$\to 2m^2 +m -1 = 0$
$ \to (2m-1)(m+1) = 0 \to $ \(\left[ \begin{array}{l}2m-1=0\\m+1=0\end{array} \right.\) $\to$ \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\m=-1\end{array} \right.\)
Kết hợp với $m \le \dfrac{2}{3} $ ta có \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\m=-1\end{array} \right.\)
Bài $2$
$ \dfrac{1}{2} x^2 – m^2 +4m-1 =0$
$a)$ Thay $m=1$ vào phương trình ta có
$ \dfrac{1}{2} x^2 – 1 + 4 – 1 = 0$
$ \to x^2 + 4= 0$
$\to x^2 = -4$ ( vô lí )
$b)$ $\Delta = 0 – \dfrac{1}{2} . ( -m^2+4m-1) = \dfrac{1}{2}m^2 – 2m + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}m^2 – 2m + \dfrac{1}{2}$
Để PT có hai nghiệm thì $ \dfrac{1}{2}m^2 – 2m + \dfrac{1}{2} \ge 0 \to m \le 2 – \sqrt{3} $ hoặc $ x \ge 2+ \sqrt{3}$
Theo hệ thức Viète ta có
$\begin{cases} x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} = 0 \\\\\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -m^2+4m-1 \\\end{cases}$
$ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = x_1 +x_2$
$\to \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} = x_1 +x_2$
$ \to 0 = 0$
Vậy giá trị $m$ thỏa mãn là $m \le 2 – \sqrt{3} $ hoặc $ x \ge 2+ \sqrt{3}$