$\left \{ {{ax – y = 2} \atop {x + ay = 3}} \right.$
a) Giải hpt khi a = √3 – 1
b) chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm
$\left \{ {{ax – y = 2} \atop {x + ay = 3}} \right.$
a) Giải hpt khi a = √3 – 1
b) chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm
Đáp án:
a. \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 + 2\sqrt 3 }}{{5 – 2\sqrt 3 }}\\
y = \frac{{7 – 5\sqrt 3 }}{{13}}
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a.Thay:a = \sqrt 3 – 1\\
Hpt \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {\sqrt 3 – 1} \right)x – y = 2\\
x + \left( {\sqrt 3 – 1} \right)y = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^2}x – \left( {\sqrt 3 – 1} \right)y = 2\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\\
x + \left( {\sqrt 3 – 1} \right)y = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4 – 2\sqrt 3 + 1} \right)x = 3 + 2\sqrt 3 – 2\\
x + \left( {\sqrt 3 – 1} \right)y = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 + 2\sqrt 3 }}{{5 – 2\sqrt 3 }}\\
y = \frac{{7 – 5\sqrt 3 }}{{13}}
\end{array} \right.\\
b.\left\{ \begin{array}{l}
ax – y = 2\\
x + ay = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{a^2}x – ay = 2a\\
x + ay = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{a^2} + 1} \right)x = 3 + 2a\\
y = \frac{{3 – x}}{a}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{3 + 2a}}{{{a^2} + 1}}\\
y = \frac{{3{a^2} + 3 – 3 – 2a}}{{a\left( {{a^2} + 1} \right)}} = \frac{{a\left( {3a – 2} \right)}}{{a\left( {{a^2} + 1} \right)}}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{3 + 2a}}{{{a^2} + 1}}\\
y = \frac{{3a – 2}}{{{a^2} + 1}}
\end{array} \right.\\
Do:{a^2} + 1 > 0\forall a \in R
\end{array}\)
⇒ Hpt luôn có nghiệm