$\left \{ {{√[(x-y)^2+4(2x-y)+15] – √y = √(x+3)} \atop { √[y^2-2(x+y)+10] + ∛2x-y+3 = y-x+2}} \right.$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ $: x + 3 ≥ 0; y ≥ 0; (x – y)² + 4(2x – y) + 15 ≥ 0$

Biến đổi PT thứ nhất:

$\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} – \sqrt{y} = \sqrt{x + 3} $

$ ⇔(\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} – 2\sqrt{y}) – (\sqrt{x + 3} – \sqrt{y}) = 0$

$ ⇒ \dfrac{(x – y)² + 4(2x – y) + 15 – 4y}{\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} + 2\sqrt{y}} – \dfrac{x + 3 – y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(x – y)² + 8(x – y) + 15}{\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} + 2\sqrt{y}} – \dfrac{x + 3 – y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(x – y + 3)(x – y + 5)}{\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} + 2\sqrt{y}} – \dfrac{x – y + 3}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

$ ⇔ (x – y + 3)(\dfrac{x – y + 5}{\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} + 2\sqrt{y}} – \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}}) = 0$

TH1 $: x – y + 3 = 0 ⇔ y = x + 3$ thay vào PT thứ hai:

$ \sqrt{x² + 2x + 13} + \sqrt[3]{x} = 5 $

$ ⇔ \sqrt{x² + 2x + 13} – 4 + \sqrt[3]{x} – 1 = 0 $

$ ⇔ \dfrac{(x² + 2x + 13) – 16}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} +  \dfrac{x – 1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(x – 1)(x + 3)}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} +  \dfrac{x – 1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1} = 0$

$ ⇔ (x – 1)(\dfrac{x + 3}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} +  \dfrac{1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1}) = 0$

$ ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = x + 3 = 4 (TM)$

TH2 $: \dfrac{x – y + 5}{\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} + 2\sqrt{y}} – \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0 (*)$

Thay $\sqrt{(x – y)² + 4(2x – y) + 15} = \sqrt{x + 3} + \sqrt{y} $ từ PT thứ nhất vào

$ (*) ⇔ \dfrac{x – y + 5}{\sqrt{x + 3} + 3\sqrt{y}} – \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

Đặt $ : a = \sqrt{x + 3} ≥0; b = \sqrt{y} ≥ 0$

$ \dfrac{a² – b² + 2}{a + 3b} – \dfrac{1}{a + b} = 0$

$ ⇔ (a + b)(a² – b²) + 2(a + b) – (a + 3b) = 0$

$ ⇔ (a – b)(a + b)² + (a – b) = 0$

$ ⇔ (a – b)[(a + b)² + 1] = 0$

$ ⇔ a – b = 0 ⇔ a = b ⇔ \sqrt{x + 3} = \sqrt{y}$

$ ⇔ y = x + 3 $ ( như TH1)

KL : Hệ có nghiệm duy nhất $ (x; y) = (1; 4)$