$\lim_{x \to 0} $ $\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x} }{x^{2}}$ 13/07/2021 Bởi Rose $\lim_{x \to 0} $ $\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x} }{x^{2}}$
Ta có $\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} – \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^2} = \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} – 1 – (\sqrt[3]{1 + 3x} – 1)}{x^2}$ $=\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{1 + 2x-1}{x^2(\sqrt{1 + 2x} + 1)} – \dfrac{1 + 3x-1}{x^2(\sqrt{(1 + 3x)^2} + \sqrt[3]{1 + 3x} + 1)}$ $= \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{2}{x(\sqrt{1 + 2x} + 1)} – \dfrac{3}{x(\sqrt{(1 + 3x)^2} + \sqrt[3]{1 + 3x} + 1)}$ Giới hạn này phải sử dụng Quy tắc L’Hospital mà các em chưa được học ở bậc phổ thông. Sẽ học ở phần Toán cao cấp. Sử dụng quy tắc trên ta tính được giới hạn này bằng $\dfrac{1}{2}$. Bình luận
Ta có
$\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} – \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^2} = \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} – 1 – (\sqrt[3]{1 + 3x} – 1)}{x^2}$
$=\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{1 + 2x-1}{x^2(\sqrt{1 + 2x} + 1)} – \dfrac{1 + 3x-1}{x^2(\sqrt{(1 + 3x)^2} + \sqrt[3]{1 + 3x} + 1)}$
$= \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{2}{x(\sqrt{1 + 2x} + 1)} – \dfrac{3}{x(\sqrt{(1 + 3x)^2} + \sqrt[3]{1 + 3x} + 1)}$
Giới hạn này phải sử dụng Quy tắc L’Hospital mà các em chưa được học ở bậc phổ thông. Sẽ học ở phần Toán cao cấp.
Sử dụng quy tắc trên ta tính được giới hạn này bằng $\dfrac{1}{2}$.