(m+1)x^2-2(m+2)x+m-3=0. a) Giả sử x1-x2 là các nghiệm của ptrinh . Xác định m để hệ thức sau thoả mãn : (4×1+1)(4×2+1) -18=0.

Đáp án:

a) Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ne 0\\
\Delta ‘ > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  – 1\\
{\left( {m + 2} \right)^2} – \left( {m + 1} \right)\left( {m – 3} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  – 1\\
6m + 7 > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  – 1\\
m >  – \frac{7}{6}
\end{array} \right.\\
Theo\,viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m + 1}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{m – 3}}{{m + 1}}
\end{array} \right.\\
\left( {4{x_1} + 1} \right)\left( {4{x_2} + 1} \right) – 18 = 0\\
 \Rightarrow 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 – 18 = 0\\
 \Rightarrow \frac{{4m – 12}}{{m + 1}} + \frac{{8m + 16}}{{m + 1}} – 16 = 0\\
 \Rightarrow 12m + 4 – 16\left( {m + 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow m =  – 3\left( {ktmdk} \right)\\
 \Rightarrow m \in \emptyset \\
b)m \ne  – 1;m >  – \frac{7}{6}\\
2{x_1} – {x_2} = 0\\
 \Rightarrow {x_2} = 2{x_1}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x_1} = \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m + 1}}\\
2x_1^2 = \frac{{m – 3}}{{m + 1}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{2m + 4}}{{3m + 3}}\\
x_1^2 = \frac{{m – 3}}{{2m + 2}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {\left( {\frac{{2m + 4}}{{3m + 3}}} \right)^2} = \frac{{m – 3}}{{2m + 2}}\\
 \Rightarrow \frac{{4{m^2} + 16m + 16}}{{9\left( {m + 1} \right)}} = m – 3\\
 \Rightarrow 4{m^2} + 16m + 16 = 9{m^2} – 18m – 17\\
 \Rightarrow 5{m^2} – 34m – 33 = 0\\
 \Rightarrow m = \frac{{17 + 6\sqrt {14} }}{5}
\end{array}$