Để chứng minh biểu thức luôn dương ta thường biến đổi về dạng \(A^2 + C\), trong đó \(C\) là số dương. Vì \(A^2 \le 0\) nên \(A^2 + C \ge C > 0.\)
Để chứng minh biểu thức luôn dương ta thường biến đổi về dạng \(-A^2 + C\), trong đó \(C\) là số âm. Vì \(-A^2 \le 0\) nên \(-A^2 + C < 0.\)
Ví dụ :
$\begin{array}{l}
A = {x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\\
Ta\,\,co:\,\,\,\,\,{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,(\forall x)\,\,\,\,\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\\
\Rightarrow A\,\,luon\,\,duong\,
\end{array}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: x^2 – x + 2 = x^2 – 2.x.(1/2) + 1/4 + 3/4 = ( x – 1/2)^2 + 3/4
( x – 1/2)^2 >= 0
( x – 1/2)^2 + 3/4 > 0
Biểu thức luôn dương
3x – 4)(7x + 8) – 1,5x(24x + 5) – 5(1 – 2x) + (3/2)x
=21x^2+24x-28x-32-36x^2-7,5x-5+10x+3x/2
=-15x^2-37
ta co x^2>=0 với mọi x
=>-15x^2<=0 với mọi x
=> -15x^2-37<=-37<0 với mọi x
Để chứng minh biểu thức luôn dương ta thường biến đổi về dạng \(A^2 + C\), trong đó \(C\) là số dương. Vì \(A^2 \le 0\) nên \(A^2 + C \ge C > 0.\)
Để chứng minh biểu thức luôn dương ta thường biến đổi về dạng \(-A^2 + C\), trong đó \(C\) là số âm. Vì \(-A^2 \le 0\) nên \(-A^2 + C < 0.\) Ví dụ : $\begin{array}{l} A = {x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\\ Ta\,\,co:\,\,\,\,\,{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,(\forall x)\,\,\,\,\\ \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\\
\Rightarrow A\,\,luon\,\,duong\,
\end{array}$