Mình đang cần gấp nha! Mình sẽ vote 5 sao!
Cho x + y + z = xyz và 1/x + 1/y + 1/z = 3. Chứng minh 1/x² + 1/y² + 1/z² = 7
Mình đang cần gấp nha! Mình sẽ vote 5 sao!
Cho x + y + z = xyz và 1/x + 1/y + 1/z = 3. Chứng minh 1/x² + 1/y² + 1/z² = 7
Ta có:
` 1/x + 1/y + 1/z = 3`
`⇔( 1/x + 1/y + 1/z)^2=3^2`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} ) = 9`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2(\frac{z}{xyz} + \frac{x}{xyz} + \frac{y}{xyz} ) = 9`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2. \frac{x+y+z}{xyz} = 9`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2. \frac{xyz}{xyz} = 9` ( vì `x+y+z=xyz` )
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2. 1= 9`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2= 9`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 =9-2`
`⇔ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 =7.`
Vậy `1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 =7.`
Đáp án: Bài này mk đặt cho dễ nhìn nhé để kiểu kia khó nhìn lắm !!!
Giải thích các bước giải:
Ta có : `x+y+z=xyz`
`<=>1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)=1`
ĐẶt `a=1/x;b=1/y;c=1/z`
`=>ab+bc+ca=1`
mà `1/x+1/y+1/z=3`
`=>a+b+c=3`
Theo hđt ta có :
`(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`
thay `ab+bc+ca=1;a+b+c=3` vào ta có :
`3^2=a^2+b^2+c^2+2.1`
`<=>a^2+b^2+c^2=9-2`
`<=>1/x^2+1/y^2+1/z^2=7(dpcm)`