Mọi người giúp em với, em cần gấp.
Cho 3 số $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ac=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của `A=\frac{a}{a^2+7}+\frac{b}{b^2+7}+\frac{c}{c^2+7}`
Mọi người giúp em với, em cần gấp.
Cho 3 số $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ac=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của `A=\frac{a}{a^2+7}+\frac{b}{b^2+7}+\frac{c}{c^2+7}`
Đáp án:
Bổ sung đk : `a,b,c > 0`
Ta có :
`a^2 + 7 = a^2 + 3 + 4 = a^2 + ab + bc + ca + 4 = (a + b)(a + c) + 4`
Áp dụng `AM – GM` ta có : `(a + b)(a + c) + 4 ≥ 4\sqrt{(a + b)(a + c)}`
`-> a/(a^2 + 7) ≤ a/[4\sqrt{(a + b)(a + c)}]`
Lại áp dụng ` AM – GM` ta có :
` a/[4\sqrt{(a + b)(a + c)}] = 1/8 . 2 . \sqrt{a}/(\sqrt{a + b}) . \sqrt{a}/(\sqrt{a + c}) <= 1/8 (a/(a + b) + a/(a+ c))`
Tương tự ta có
`b/(b^2 + 7) <= 1/8(b/(a + b) + b/(b + c))`
`c/(c^2 + 7) <= 1/8(c/(a + c) + c/(b + c))`
Cộng vế theo vế ta có :
`A <= 1/8 ((a + b)/(a + b) + (b + c)/(b + c) + (a + c)/(a + c)) = 1/8 (1 + 1 + 1) = 3/8`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Vậy `Max_{A} = 3/8 <=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
max A = 3/8
Giải thích các bước giải:
a/a^2+7 = a/a^2 + ab+bc+ca +4 = a/(a+b)(a+c) + 4
Áp dụng BĐT Bunhia : (a+b)(a+c) >= ($\sqrt[]{ac}$ +$\sqrt[]{ab}$ )^2
Áp dụng BĐT Cosi : $\sqrt[]{ac}$ +$\sqrt[]{ab}$ >= 2$\sqrt[4]{ab.ac}$ =2$\sqrt[]{a}$ $\sqrt[4]{bc}$
=> a/a^2+7 <= a/4a$\sqrt[]{bc}$ +4 = 1/4 * a/a$\sqrt[]{bc}$ +1
C/m BĐT phụ : x^2+y^2 >= 2xy (x,y ∈ R)
Thật vậy : x^2+y^2 – 2xy >=0
<=> (x-y)^2 >=0 (luôn đúng ∨x,y ∈R)
Áp dụng kq bài toán trên ta có : a$\sqrt[]{bc}$ +1 >= 2$\sqrt[]{a}$ $\sqrt[4]{bc}$
=> a/a^2+7 <= 1/4 * a/2$\sqrt[]{a}$ $\sqrt[4]{bc}$ = 1/8* $\sqrt[]{a}$ /$\sqrt[4]{bc}$
CMTT : b/b^2+7 <= 1/8* $\sqrt[]{b}$ /$\sqrt[4]{ac}$
c/c^2+7 <= 1/8* $\sqrt[]{c}$ /$\sqrt[4]{ba}$
=> A <= 1/8*( $\sqrt[]{a}$ /$\sqrt[4]{bc}$ + $\sqrt[]{b}$ /$\sqrt[4]{ac}$ +$\sqrt[]{c}$ /$\sqrt[4]{ba}$ )
Đặt B = $\sqrt[]{a}$ /$\sqrt[4]{bc}$ + $\sqrt[]{b}$ /$\sqrt[4]{ac}$ +$\sqrt[]{c}$ /$\sqrt[4]{ba}$
B= $\sqrt[4]{\frac{a}{b} }$ *$\sqrt[4]{\frac{a}{c} }$ + $\sqrt[4]{\frac{c}{b} }$ *$\sqrt[4]{\frac{c}{a} }$ + $\sqrt[4]{\frac{b}{a} }$ *$\sqrt[4]{\frac{b}{c} }$
Áp dụng BĐT Cosi : $\sqrt[4]{\frac{a}{b} }$ *$\sqrt[4]{\frac{a}{c} }$ <= ($\sqrt[]{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt[]{\frac{a}{c}}$ )/2
CMTT :
$\sqrt[4]{\frac{c}{b} }$ *$\sqrt[4]{\frac{c}{a} }$ <= ($\sqrt[]{\frac{c}{b}}$ + $\sqrt[]{\frac{c}{a}}$ )/2
$\sqrt[4]{\frac{b}{a} }$ *$\sqrt[4]{\frac{b}{c} }$ <= ($\sqrt[]{\frac{b}{a}}$ + $\sqrt[]{\frac{b}{c}}$ )/2
=> B <= ($\sqrt[]{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt[]{\frac{a}{c}}$ +$\sqrt[]{\frac{c}{b}}$ + $\sqrt[]{\frac{c}{a}}$+$\sqrt[]{\frac{b}{a}}$ + $\sqrt[]{\frac{b}{c}}$) /2
Áp dụng BĐT Cosi :
$\sqrt[]{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt[]{\frac{a}{c}}$ +$\sqrt[]{\frac{c}{b}}$ + $\sqrt[]{\frac{c}{a}}$+$\sqrt[]{\frac{b}{a}}$ + $\sqrt[]{\frac{b}{c}}$>= 6*$\sqrt[6]{\sqrt[]{\frac{a}{b}}\sqrt[]{\frac{a}{c}}\sqrt[]{\frac{c}{b}}\sqrt[]{\frac{c}{a}}\sqrt[]{\frac{b}{a}}\sqrt[]{\frac{b}{c}}}$ =6
=> B <= 3
=> A <=3/8
Dấu ”=” xảy ra <=> a=b=c=1