Mọi người làm hộ với
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh
a) a ²+b ²+c ² <2(ab+bc+ac)
b) a ²+b ²+c ² ≥ab+bc++ac
Em đang cần gấp.
Em cảm ơn
Mọi người làm hộ với
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh
a) a ²+b ²+c ² <2(ab+bc+ac)
b) a ²+b ²+c ² ≥ab+bc++ac
Em đang cần gấp.
Em cảm ơn
a)
`a,b,c` là độ dài ba cạnh của tam giác
⇒`a<b+c⇒a^2<a(b+c)`
`b<a+c⇒b^2<b(a+c)`
`c<a+b⇒c^2<c(a+b)`
`⇒a^2+b^2+c^2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=ab+ac+ab+bc+ac+bc=2(ab+bc+ac)`
b)
Ta có:
`(a+b)^2≥0`
`⇔a^2+b^2+2ab≥0`
`⇔a^2+b^2≥2ab`
Tương tự
`b^2+c^2≥2bc`
`c^2+a^2≥2ca`
`⇒a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2≥2ab+2bc+2ac`
`⇒a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`
a, Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác
=> a<b+c => a²< a(b+c)= ab+ ac
Cm tương tự: b²< b(a+c)= ab+ bc
c²< c(a+b)= ac+ bc
=>a ²+b ²+c ² < ab+ ac+ ab+ bc+ bc+ ac= 2ab+ 2bc+ 2ac= 2(ab+bc+ac)
=>đpcm
b, a ²+b ²+c ² ≥ab+bc+ac
<=> a ²+b ²+c ² – ab- bc- ac≥ 0
<=> 2(a ²+b ²+c ² – ab- bc- ac)≥ 0
<=> 2a ²+2b ²+2c ² -2ab- 2bc – 2ac≥0
<=> a²+ a²+b²+ b²+c²+ c² – 2bc- 2ac- 2ab≥0
<=> (a²- 2ab+ b²)+ (b²- 2bc+c²)+ (c²- 2ac+ a²)≥0
<=>(a-b)²+ (b-c)²+ (c-a)²≥0 (luôn đúng với mọi a,b,c)
=> đpcm