mọi người ơi giúp em bài này với ạ cho $\frac{a^2}{a^2+b^2}$ +$\frac{c^2}{a^2+c^2}$ =$\frac{2c}{b+c}$ (a,b,c thuộc N ) chứng minh b.c chính phương
mọi người ơi giúp em bài này với ạ cho $\frac{a^2}{a^2+b^2}$ +$\frac{c^2}{a^2+c^2}$ =$\frac{2c}{b+c}$ (a,b,c thuộc N ) chứng minh b.c chính phương
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a²/(a² + b²) + c²/(a² + c²) = 2c/(b + c) (1)
⇔ 1 – b²/(a² + b²) + 1 – a²/(a² + c²) = 2 – 2b/(b + c)
⇔ a²/(a² + c²) + b²/(a² + b²) = 2b/(b + c) (2)
Lấy (2) – (1) vế với vế:
a²[1/(a² + c²) – 1/(a² + b²)] + b²/(a² + b²) – c²/(a² + c²) = 2(b – c)/(b + c)
⇔ a²(b² – c²)/[(a² + c²)(a² + b²)] + a²(b² – c²)/(a² + b²)(a² + c²) = 2(b – c)/(b + c)
⇔ a²(b² – c²)/[(a² + c²)(a² + b²)] = (b – c)/(b + c) (*)
Trường hợp 1: b – c = 0 ⇔ b = c ⇔ bc = c² là số chính phương (3)
Trường hợp 2: b – c # 0 thì (*) tương đương:
a²(b + c)/[(a² + c²)(a² + b²) = 1/(b + c)
⇔ a²(b + c)² = (a² + c²)(a² + b²)
⇔ 2a²bc = (a²)² + b²c²
⇔ (a² – bc)² =0
⇔ bc = a² là số chính phương (4)
Từ (3) và (4) ⇒ (đpcm)