Một đa giác có bao nhiêu cạnh nếu số đường chéo của nó gấp ba lần số cạnh của nó?

Cho đa giác có n đỉnh, ($n∈N$, $n≥3$) cứ hai đỉnh không kề nhau tạo thành một đường chéo, số đỉnh bằng số cạnh (ví dụ tam giác có ba cạnh ba đỉnh, tứ giác có bốn cạnh bốn đỉnh…)

Ta có số đường chéo được tính theo công thức:

$3n=C_n^2-n$

$↔ 4n=\dfrac{n!}{2(n-2)!}$

$↔ 4n=\dfrac{n(n-1)}{2}$

$↔ n^2-n=8n$

$↔ n^2-9n=0$

$↔ \left[ \begin{array}{l}n=0\\n=9\end{array} \right.$

Vì $n≥3$ nên chọn $n=9$

Vậy đa giác cần tìm có $9$ cạnh.