Mừng tuổi tết mọi người nha !!! Chứng minh rằng : $\ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} = (1 + 2 + 3 + … + n)^{2}$

0 bình luận về “Mừng tuổi tết mọi người nha !!! Chứng minh rằng : $\ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} = (1 + 2 + 3 + … + n)^{2}$”

1. Giải thích bằng các bước giải ở trong hình:

    

   Bình luận

2. Ta cần chứng minh : $1^3+2^3+3^3+….+n^3 = (1+2+3+….+n)^2$ $(*)$

   +) Xét $n=1$ thì $(*)$ đúng

   +) Xét $n=2$ thì $(*)$ đúng

   +) Giả sử $n=k$ đúng với $(*)$ Tức là :

   $1^3+2^3+….+k^3 = (1+2+…+k)^2$

   Ta cần chứng minh $(*)$ đúng vớ $n=k+1$

   Thật vậy ta có :

   $1^3+2^3+3^3+…..+(k+1)^3$

   $ = (1^3+2^3+….+k^3)+(k+1)^3$

   $ = (1+2+….+k)^2 + (k+1)^3$ $(1)$

   Ta sẽ chứng minh $2.(k+1).(1+2+…..+k+(k+1)^2 = (k+1)^3$

   Thấy $2.(k+1).(1+2+3+…+k)+(k+1)^2$

   $ = 2.(k+1).\dfrac{(k.(k+1)}{2}$

   $ = k.(k+1)^2 + (k+1)^2$

   $ = (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^3$ ( Đúng )

   Khi đó $(1)$ trở thành :

   $1^3+2^3+3^3+….+(k+1)^3 = (1+2+…+k)^2+2.(k+1).(1+2+….+k) + (k+1)^2 = (k+1)^3$

   $\to đpcm$

   Vậy $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.

   Bình luận