Nếu a, b, c, d là các số khác 0, biết c và d là nghiệm của phương trình x^2 + ax + b = 0, a và b là nghiệm của phương trình x^2 + cx + d = 0. Tính giá trị của a + b + c + d.
Nếu a, b, c, d là các số khác 0, biết c và d là nghiệm của phương trình x^2 + ax + b = 0, a và b là nghiệm của phương trình x^2 + cx + d = 0. Tính giá trị của a + b + c + d.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì $c, d$ là 2 nghiệm của phương trình $x^{2}+ax+b=0 => c+d=-a$
Vì $a, b$ là 2 nghiệm của phương trình $x^{2}+cx+d=0 => a+b=-c$
Khi đó ta có hệ:
$\left \{ {{c+d=-a} \atop {a+b=-c}} \right.<=> \left \{ {{a+c=-d} \atop {a+c=-b}} \right.<=>b=d$
Lại có:
$\left \{ {{c^{2}+ac+b=0} \atop {a^{2}+ca+d=0=2}} \right.=> c^{2}-a^{2}+b-d=0$
$<=>a^{2}=c^{2} <=> $ \(\left[ \begin{array}{l}a=c\\a=-c\end{array} \right.\)$
Với $a=-c$ thì từ $c+d=-a => d=0$ (mâu thuẫn gt)
Với $a=c$ thì $c+d=-a => d=-2c$ và từ $a+b=-c => b=-2c$
Mà $c^{2}+ac+b=0<=> c^{2}-2c=0<=>$$\left[ \begin{array}{l}c=0\\c=1\end{array} \right.$
Khi đó $a+b+c+d=-2c=-2.1=-2$
Đáp án: $-2$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng hệ thức Vi-et vào hai phương trình đã cho, ta được:
\(c+d=-a (1) ; cd=b (2)\)
\(a+b=-c (3) ; ab=d (4)\)
Từ (1) suy ra \(a+c=-d\). Từ (3) suy ra \(a+c=-b\). Do đó \(b=d\).
Từ (2), do \(b=d \ne0\), ta có \(c=1\).
Từ (4), do \(b=d \ne0\), ta có \(a=1\).
Thay \(a=c=1\) vào (1), ta được \(d=-2\), suy ra \(b=-2\).
Vậy $a+b+c+d=1+(-2)+1+(-2)=-2$