Người ta viết 5 số tự nhiên vào một hàng duy nhất a1, a2, a3, a4, a5. Chứng minh rằng hoặc một trong các số đó chia hết cho 5, hoặc tổng một số số tự nhiên kề nhau chia hết cho 5.
Người ta viết 5 số tự nhiên vào một hàng duy nhất a1, a2, a3, a4, a5. Chứng minh rằng hoặc một trong các số đó chia hết cho 5, hoặc tổng một số số tự nhiên kề nhau chia hết cho 5.
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Xét `5` tổng:
`S_1=a_1`
`S_2=a_1+a_2`
`S_3=a_1+a_2+ a_3`
`S_4=a_1+a_2 + a_3 + a_4`
`S_2=a_1+a_2 + a_3 + a_4 + a_5`
Nếu một trong các số đó chia hết cho `5` thì bài toán đã giải xong. Trong trường hợp trái lại, khi chia cho `5` thì mỗi số sẽ có một số dư nào đó trong `4` số: `1,2,3,4`. Theo lý Dirichlet ít nhất `2` trong `5` số đó có cùng số dư. Vậy hiệu của hai tổng đó chia hết cho `20`. Chẳng hạn hai tổng đó là `S_m` và `S_n` thì:
`S_m – S_n=(a_1 + a_2 +…+a_n + … + a_m)- (a_1+a_2+…+a_n)`
`=a_(n+1)+a_(n+2)+…+a_m`
Mà`S_m – S_n vdots 5` (chứng minh trên)
Và `=a_(n+1)+a_(n+2)+…+a_m` là tổng một số số tự nhiên kề nhau.
Vậy tổng một số số tự nhiên kề nhau chia hết cho `5`