nhận dạng tam giác abc biết cosA +cosC/cosB + cosC =sinA/sinB 20/10/2021 Bởi Valerie nhận dạng tam giác abc biết cosA +cosC/cosB + cosC =sinA/sinB
Đáp án: $ΔABC$ cân tại $C$ Giải thích các bước giải: $\frac{cosA + cosC}{cosB + cosC} = \frac{sinA}{sinB} (1)$ $ ⇔ sinBcosA + sinBcosC = sinAcosB + sinAcosC $ $ ⇔ sinAcosB – sinBcosA + cosC(sinA – sinB) = 0 $ $ ⇔ sin(A – B) + (sinA – sinB)cosC = 0 $ $ ⇔ 2sin\frac{A – B}{2}.cos\frac{A – B}{2} + 2cos\frac{A + B}{2}.sin\frac{A – B}{2}.cosC = 0 $ $ ⇔ 2sin\frac{A – B}{2}.(cos\frac{A – B}{2} + cos\frac{A + B}{2}.cosC)= 0 (2)$ Vì $A; B$ bình đẳng ở $(1)$ nên có thể giả thiết $A ≥ B$ nên ta có : $ 0 < \frac{A – B}{2} < \frac{A + B}{2} < 90^{0} ⇒ 0 < cos\frac{A + B}{2} < cos\frac{A – B}{2}$ Mặt khác : $ cosC + 1 > 0 $ $⇒ cos\frac{A – B}{2} + cos\frac{A + B}{2}. cosC > cos\frac{A + B}{2} + cos\frac{A + B}{2}.cosC = cos\frac{A + B}{2}.(cosC + 1) > 0$ Từ $ (2) ⇒sin\frac{A – B}{2} = 0 ⇔ A – B = 0 ⇔ A = B $ $⇔ ΔABC$ cân tại $C$ Bình luận
Đáp án: $ΔABC$ cân tại $C$
Giải thích các bước giải:
$\frac{cosA + cosC}{cosB + cosC} = \frac{sinA}{sinB} (1)$
$ ⇔ sinBcosA + sinBcosC = sinAcosB + sinAcosC $
$ ⇔ sinAcosB – sinBcosA + cosC(sinA – sinB) = 0 $
$ ⇔ sin(A – B) + (sinA – sinB)cosC = 0 $
$ ⇔ 2sin\frac{A – B}{2}.cos\frac{A – B}{2} + 2cos\frac{A + B}{2}.sin\frac{A – B}{2}.cosC = 0 $
$ ⇔ 2sin\frac{A – B}{2}.(cos\frac{A – B}{2} + cos\frac{A + B}{2}.cosC)= 0 (2)$
Vì $A; B$ bình đẳng ở $(1)$ nên có thể giả thiết $A ≥ B$ nên ta có :
$ 0 < \frac{A – B}{2} < \frac{A + B}{2} < 90^{0} ⇒ 0 < cos\frac{A + B}{2} < cos\frac{A – B}{2}$
Mặt khác : $ cosC + 1 > 0 $
$⇒ cos\frac{A – B}{2} + cos\frac{A + B}{2}. cosC > cos\frac{A + B}{2} + cos\frac{A + B}{2}.cosC = cos\frac{A + B}{2}.(cosC + 1) > 0$
Từ $ (2) ⇒sin\frac{A – B}{2} = 0 ⇔ A – B = 0 ⇔ A = B $
$⇔ ΔABC$ cân tại $C$