Nhanh ạ.
Bài 1,
Tìm dư khi chia `x^{99}+x^{55}+x^{11}+x+7` cho:
a, `x+1`
b, `x^2+1`
Bài 2: Tìm dư khi chia các đa thức `f(x)=x^{50}+x^{49}+…+x^2+x+1` cho `x^2-1`
Nhanh ạ.
Bài 1,
Tìm dư khi chia `x^{99}+x^{55}+x^{11}+x+7` cho:
a, `x+1`
b, `x^2+1`
Bài 2: Tìm dư khi chia các đa thức `f(x)=x^{50}+x^{49}+…+x^2+x+1` cho `x^2-1`
Bài 1:
$f(x) = x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$
a) Gọi $R$ là số dư của phép chia $f(x)$ cho $x + 1$
Áp dụng định lý Bézout
Ta được:
$R = f(-1) = (-1)^{99} + (-1)^{55} + (-1)^{11} + (-1) + 7 = 3$
b) Ta có:
$f(x) = x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$
$= x^{99} – x^3 + x^{55} – x^3 + x^{11} – x^3 + 3x^3 + 3x – 2x 7$
$= x^3(x^{96} – 1) + x^3(x^{52} – 1) + x^3(x^{8} – 1) + 3x(x^2 +1) – 2x + 7$
Ta có: $x^{96} – 1 = (x^4)^{24} – 1 \, \,\vdots \, \, x^4 – 1$
Mà $x^4 – 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$
nên $x^{96} – 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$
Tương tự: $x^{52} – 1 = (x^4)^{13} – 1\,\, \vdots \,\,x^2 + 1$
$x^{8} – 1 = (x^4)^2 – 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$
Do đó: $x^3(x^{96} – 1) + x^3(x^{52} – 1) + x^3(x^{8} – 1) + 3x(x^2 +1) \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$
Vậy phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 + 1$ là $-2x + 7$
Bài 2:
$f(x) = x^{50} + x^{49} + \dots + x +1$
Gọi $R = ax + b$ là phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 -1$
Áp dụng định lý Bézout ta được:
$\begin{cases}R = f(-1) = – a + b\\R = f(1) = a + b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}- a + b = 1\\a + b = 51\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a = 25\\b = 26\end{cases}$
Vậy phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 – 1$ là $25x + 26$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
bài 1:
a) f(x)=`x^99+x^55+x^11+x+7`
theo định lý bezout thì
`f(-1)=(-1)^99+(-1)^55+(-1)^11-1+7`
`=-1-1-1-1+7=3`
vậy `x^99+x^55+x^11+x+7` chia cho x+1 dư 3
b) ta có: `x^99+x^55+x^11+x+7=(x^99+x)+(x^55+1)+(x^11+1)-2x+7`
`=x(x^98+1)+x(x^54+1)+x(x^10+1)-2x+7`
`=x[(x^2)^49+1]+x[(x^2)^27+1]+x[(x^2)^5+1]-2x+7`
do `(x^2)^49+1` chia hết cho`x^2+1`
`(x^2)^27+1` chia hết cho `x^2+1`
`(x^2)^5+1` chia hết cho `x^2+1`
⇒`x^99+x^55+x^11+x+7` chia cho `x^2+1` dư -2x+7
bài 2:
`f(x)=x^50+x^49+…+x^2+x+1`
`f(x)=(x^50-1)+(x^49-x)+…+(x^2-1)-18x-24`
`f(x)=[(x^2)^25-1]+x[(x^2)^24-1]+….+(x^2-1)-18x-24`
do `(x^2)^25-1`chia hết cho `x^2-1`
`(x^2)^24-1`chia hết cho `x^2-1`
…..
`(x^2-1)`chia hết cho `x^2-1`
⇒f(x) chia cho `x^2-1` dư -18x-24