Nhanh ạ. Bài 1, Tìm dư khi chia `x^{99}+x^{55}+x^{11}+x+7` cho: a, `x+1` b, `x^2+1` Bài 2: Tìm dư khi chia các đa thức `f(x)=x^{50}+x^{49}+…+x^2+x

Bài 1:

$f(x) = x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$

a) Gọi $R$ là số dư của phép chia $f(x)$ cho $x + 1$

Áp dụng định lý Bézout

Ta được:

$R = f(-1) = (-1)^{99} + (-1)^{55} + (-1)^{11} + (-1) + 7 = 3$

b) Ta có:

$f(x) = x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$

$= x^{99} – x^3 + x^{55} – x^3 + x^{11} – x^3 + 3x^3 + 3x – 2x 7$

$= x^3(x^{96} – 1) + x^3(x^{52} – 1) + x^3(x^{8} – 1) + 3x(x^2 +1) – 2x + 7$

Ta có: $x^{96} – 1 = (x^4)^{24} – 1 \, \,\vdots \, \, x^4 – 1$

Mà $x^4 – 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

nên $x^{96} – 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

Tương tự: $x^{52} – 1 = (x^4)^{13} – 1\,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

$x^{8} – 1 = (x^4)^2 – 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

Do đó: $x^3(x^{96} – 1) + x^3(x^{52} – 1) + x^3(x^{8} – 1) + 3x(x^2 +1) \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

Vậy phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 + 1$ là $-2x + 7$

Bài 2:

$f(x) = x^{50} + x^{49} + \dots + x +1$

Gọi $R = ax + b$ là phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 -1$

Áp dụng định lý Bézout ta được:

$\begin{cases}R = f(-1) = – a + b\\R = f(1) = a + b\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}- a + b = 1\\a + b = 51\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = 25\\b = 26\end{cases}$

Vậy phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 – 1$ là $25x + 26$