p là số nguyên tố , p >3 . CMR : (2401-p^2) chia hết cho 24

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ => p chia 8 dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7

=> p = 8k + n (k ∈ N, n ∈ {1;3;5;7})

=> p² = (8k + n)²

=> p² = (8k + n)(8k + n)

=> p² = 8k(8k + n) + n(8k + n)

=> p² = 64k² + 8kn  + 8kn + n² = 64k² + 16kn + n²

n ∈ {1;3;5;7} => n² ∈ {1; 9; 25; 49} mà 1; 9; 25; 49 chia 8 dư 1

=> n² chia 8 dư 1, mà 64k², 16kn chia hết cho 8

=> p² chia 8 dư 1 => p² = 8m + 1(m ∈ N*)

2401 – p² = 2401 – (8m + 1) = 2401 – 8m – 1 = 2400 – 8m chia hết cho 8 (vì 2400; 8m chia hết cho 8)

Mặt khác, ta có p chia 3 dư 1 hoặc dư 2

Tương tự, ta có 2401 – p² chia hết cho 3

(2401 – p²) chia hết cho 3 và 8, mà ƯCLN(3, 8) = 1

=> 2401 – p² chia hết cho 3.8 =24

Vậy 2401 – p² chia hết cho 24