Phân tích đa thức thành nhân tử: (a+b+c)^3 – 4(a^3 + b^3 + c^3) – 12abc bằng cách đổi biến đặt : a+b = m,a- b = n

Đáp án:

$3\left( {c – a – b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {c^2}} \right]$

Giải thích các bước giải:

Đặt a+b=m và a.b=n
phương trình trở thành :
$\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^3} – 4\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} – 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3}} \right] – 12abc\\
= {\left( {m + c} \right)^3} – 4\left( {{m^3} – 3mn + {c^3}} \right) – 12n.c\\
= {m^3} + 3{m^2}c + 3m{c^2} + {c^3} – 4{m^3} + 12mn – 4{c^3} – 12nc\\
= \left( {3{m^2}c + 3m{c^2}} \right) + \left( { – 3{m^3} – 3{c^3}} \right) + 12mn – 12nc\\
= 3\left( {{m^2}c + m{c^2} – {m^3} – {c^3} + 4mn – 4nc} \right)\\
= 3\left( {{m^2}\left( {c – m} \right) + {c^2}\left( {c – m} \right) – 4n\left( {c – m} \right)} \right)\\
= 3\left( {c – m} \right)\left( {{m^2} + {c^2} – 4n} \right)\\
= 3\left( {c – a – b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2} – 4ab} \right]\\
= 3\left( {c – a – b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {c^2}} \right]
\end{array}$