Phương trình $log_{3}\frac{2x-1}{ (x-1)^{2} }=3x^{2} -8x+5$ có hai nghiệm là $a$ và $\frac{a}{b}$ (với $a,b∈N^{*}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giả

0 bình luận về “Phương trình $log_{3}\frac{2x-1}{ (x-1)^{2} }=3x^{2} -8x+5$ có hai nghiệm là $a$ và $\frac{a}{b}$ (với $a,b∈N^{*}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giả”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    ĐK:$\dfrac{1}{2}<x\neq 1$

   $⇒log_3\dfrac{2x-1}{(x-1)^2}=3x^2-8x+5$

   $⇔log_3(2x-1)-log_3(x-1)^2=3(x-1)^2-(2x-1)+1$

   $⇔log_3(2x-1)+(2x-1)=3(x-1)^2+log_3(x-1)^2+log_33$

   $⇔log_3(2x-1)+(2x-1)=3(x-1)^2+log_3[3(x-1)^2]$   (1)

   Xét hàm $y=f(t)=log_3t+t$ với $t>0$ có $f'(t)=\dfrac{1}{tln3}+1>0,∀t>0$

   $⇒$Hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $(0;+∞)$

   Phương trình $(1):f(2x-1)=f\big(3(x-1)^2\big)⇔2x-1=3(x-1)^2$

   $⇔2x-1=3(x^2-2x+1)⇔3x^2-8x+4=0$

   $⇔x=2;x=\dfrac{2}{3}$

   Vậy phương trình có nghiệm $2$ và $\dfrac{2}{3}$

   $⇒a=2;b=3$

   Bình luận

2. `a=2    ;       b=3`

   `*`

   `log_3((2x-1)/(x-1)^2)=3x^2-8x+5`

   `↔log_3(2x-1)+2x-1=log_3(x^2-2x+1)+3x^2-6x+4`

   `↔log_3(2x-1)+2x-1=log_3(x^2-2x+1)+1+3x^2-6x+3)`

   `↔log_3(2x-1)+2x-1=log_3(3x^2-6x+3)+3x^2-6x+3`

    

   `*` Xét hàm `f(t)=log_3t+t`   có:     `f'(t)=1/(tln3)+1    >0   ∀   t∈R ` 

   `->` Hàm `f(t)=log3t+t`   đồng biến trên `R`

    

   `*`

   `->  2x-1=3x^2-6x+3`

   `->3x^2-8x+4=0“->`\(\left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=\dfrac{2}{3} \\ \end{array}\right.\)

    

   `*`  `a=2` `;`    `a/b=2/3    ->b=3`

   Bình luận