Phương trình $sin(\frac{3\pi}{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{10}+\frac{3x}{2})$ có bao nhiêu nghiệm trên $(0;2\pi)$

0 bình luận về “Phương trình $sin(\frac{3\pi}{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{10}+\frac{3x}{2})$ có bao nhiêu nghiệm trên $(0;2\pi)$”

1. Đáp án: $ PT$ có 3 nghiệm $ x = \frac{3π}{5}; x = \frac{4π}{5}; x = \frac{14π}{15} ∈ (0; 2π)$

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $ t = \frac{3π}{10} – \frac{x}{2} ⇒ 3t = \frac{9π}{10} – \frac{3x}{2}$

   $ = π – (\frac{π}{10} + \frac{3x}{2}) ⇒ \frac{π}{10} + \frac{3x}{2} = π – 3t $ 

   Thay vào $PT ⇔  2sint = sin(π – 3t) = sin3t = 3sint – 4sin³t$

   $ ⇔ 4sin³t – sint = 0 ⇔ sint(4sin²t – 1) = 0$

   @ $sint = 0 ⇔ t = kπ ⇔ \frac{3π}{10} – \frac{x}{2} = kπ ⇒ x = \frac{3π}{5} – k2π$

   $ 0 < x < 2π ⇔ 0 < \frac{3π}{5} – k2π < 2π ⇔ – \frac{7}{10} < k < \frac{3}{10} ⇒ k = 0$

   $ x = \frac{3π}{5} – k2π = \frac{3π}{5}$

   @ $4sin²t – 1 = 0 ⇔ sint = ± \frac{1}{2} $

   $ t = \frac{π}{6} + kπ ⇔ \frac{3π}{10} – \frac{x}{2} = \frac{π}{6} + kπ ⇒ x = \frac{4π}{15} – k2π$

   $ 0 < x < 2π ⇔ 0 < \frac{4π}{15} – k2π < 2π ⇔ – \frac{13}{15} < k < \frac{4}{15} ⇒ k = 0$

   $ ⇒ x = \frac{4π}{15} – k2π = \frac{4π}{15}$

   $ t = π – \frac{π}{6} + kπ ⇔ \frac{3π}{10} – \frac{x}{2} = \frac{5π}{6} + kπ ⇒ x = – \frac{16π}{15} – k2π$

   $ 0 < x < 2π ⇔ 0 < – \frac{16π}{15} – k2π < 2π ⇔ – \frac{23}{15} < k < – \frac{8}{15} ⇒ k = – 1$

   $ ⇒ x = – \frac{16π}{15} + 2π = \frac{14π}{15}$

   Vậy $ PT$ có 3 nghiệm $ x = \frac{3π}{5}; x = \frac{4π}{5}; x = \frac{14π}{15} ∈ (0; 2π)$

    

   Bình luận