Biết a,b thuộc Z thỏa mãn a^2-ab+b^2 chia hết cho 9. Chứng minh a chia hết cho 3, b chia hết cho 3.

Question

tonhi · Answer

Giả sử phản chứng rằng hoặc a hoặc b ko chia hết cho 3.

Ta thấy vai trò của $a$ và $b$ là giống nhau, nên ta có thể giả sử $a$ chia hết cho 3 và b ko chia hết cho 3. Khi đó b chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

Do $a$ chia hết cho 3 nên $a = 3m$ với $m$ là một số tự nhiên nào đó

TH1: $b$ chia 3 dư 1.

Vậy $b = 3n+1$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.

Khi đó, biểu thức trên trở thành

$a^2 – ab + b^2 = (3m)^2 – 3m.(3n+1) + (3n+1)^2 $

$= 9m^2 – 9mn – 3m + 9n^2 + 6n + 1$

$= 9m^2 – 9mn + 9n^2 + 6n – 3m + 1$

$= 3(3m^2 – 3mn + 3n^2 + 2n – m) + 1$

Vậy $a^2 – ab + b^2$ chia 3 dư 1, tức là ko chia hết cho 3. Do đó ko chia hết cho 9. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

TH1: $b$ chia 3 dư 2.

Vậy $b = 3n+2$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.

Khi đó, biểu thức trên trở thành

$a^2 – ab + b^2 = (3m)^2 – 3m.(3n+2) + (3n+2)^2 $

$= 9m^2 – 9mn – 6m + 9n^2 + 12n + 4$

$= 9m^2 – 9mn + 9n^2 + 12n – 6m + 3+1$

$= 3(3m^2 – 3mn + 3n^2 + 4n – 2m+1) + 1$

Vậy $a^2 – ab + b^2$ chia 3 dư 1, tức là ko chia hết cho 3. Do đó ko chia hết cho 9. Điều này cũng mâu thuẫn với giả thiết.

Ở cả 2 trường hợp, điều giả sử đều mâu thuẫn vs giả thiết, do đó $b$ phải chia hết cho 3.

Vậy $a$ và $b$ đều chia hết cho 3.