Cho h.thoi (ABCD). Trên tia đối của tia BA, CB, DC, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho MB=NC=BD=QA
1. C/m: Tứ giác (MNPQ), (AQCN), (BMDP) là HBH.
2. C/tỏ: AC, BD, MP, NQ cùng đi qua 1 điểm
Cho h.thoi (ABCD). Trên tia đối của tia BA, CB, DC, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho MB=NC=BD=QA 1. C/m: Tứ giác (MNPQ), (AQCN), (BMDP) là
By Arianna
a) Do AD = BC, AQ = CN nên
$AD + AQ = BC + CN$
$<-> DQ = BN$
Do AD//BC nên $\widehat{QDP} = \widehat{BCD}$ (2 góc đồng vị).
Lại có AB//CD nên $\widehat{BCD} = \widehat{MBN}$ (2 góc so le trong).
Vậy $\widehat{QDP} = \widehat{MBN}$.
Xét tam giác DPQ và BMN có
$QD = BN$, $\widehat{QDP} = \widehat{MBN}$, $DP = BM$
Vậy tam giác DPQ = tam giác BMN. Suy ra PQ = MN.
CMTT ta có MQ = PN.
Vậy tứ giác MNPQ có MN = PQ, MQ = NP. Vậy tứ giác này là hình bình hành.
Do AD//BC nên $\widehat{QAN} = \widehat{NCA}$ (2 góc so le trong).
Xét tam giác QAC và tam giác ACN có
$AQ = CN$, $\widehat{QAC} = \widehat{ACN}$, $AC$ chung.
Vậy tam giác QAC = tam giác NCA. Do đó AN = QC.
Lại có AQ = CN. Suy ra tứ giác AQCN là hình bình hành.
CMTT ta cx có BMDP là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC và của BD.
Ta có AQCN là hình bình hành nên AC và QN giao nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra QN qua O và O là trung điểm QN.
CMTT ta cx có O là trung điểm MP.
Vậy AC, BD, MP, NQ đồng quy tại trung điểm mỗi đường.