cho x+y+xy =5/4.tìm GTNN của A=x^2+y^2 Giải chi tiết ạ .Cảm ơn mn nhiều

Question

cho x+y+xy =5/4.tìm GTNN của A=x^2+y^2
Giải chi tiết ạ .Cảm ơn mn nhiều

in progress 0
aihong 1 tuần 2021-09-05T18:28:41+00:00 1 Answers 0 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-05T18:29:57+00:00

    Đáp án:

     `A_{min}=1/ 2` khi `x=y=1/2`

    Giải thích các bước giải:

     `x+y+xy=5/4`

    Với mọi `x;y` ta có:

    `\qquad (x-y)^2\ge 0`

    `<=>x^2-2xy+y^2\ge 0`

    `<=>x^2+y^2\ge 2xy`

    `<=>1/ 2 (x^2+y^2)\ge xy` $(1)$

    $\\$

    `\qquad (x-1/2)^2\ge 0`

    `<=>x^2-x+1/4\ge 0`

    `<=>x^2\ge x-1/4` $(2)$

    $\\$

    `\qquad (y-1/2)^2\ge 0`

    `<=>y^2-y+1/4\ge 0`

    `<=>y^2\ge y-1/4` $(3)$

    Từ `(1);(2);(3)` suy ra:

    `\qquad 1/2(x^2+y^2)+x^2+y^2\ge (xy+x+y)-1/4-1/4`

    `<=>3/2(x^2+y^2)\ge 5/4-1/2=3/4` 

    `<=>x^2+y^2\ge 1/2`

    Dấu “=” xảy ra khi `x=y=1/2`

    Vậy $GTNN$ của `A=x^2+y^2` bằng `1/2` khi `x=y=1/2`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )