Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{2+\sqrt[2]{5}}$ + $\sqrt[3]{2-\sqrt[2]{5}}$ 21/08/2021 Bởi Alaia Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{2+\sqrt[2]{5}}$ + $\sqrt[3]{2-\sqrt[2]{5}}$
Đáp án: $1$ Giải thích các bước giải: $\text{Đặt X =} \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}\\ \Rightarrow X^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 + (\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}})^3 + 3(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^2.(\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}) + 3.(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})(\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}})^2\\ \Leftrightarrow X^3 = 4 + 3.\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5})}.(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}+\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}})\\ \Leftrightarrow X^3 = 4 -3X\\ \Leftrightarrow X^3 +3X – 4 = 0\\ \Leftrightarrow (X -1)(X^2 + X + 4) = 0\\ \Leftrightarrow X = 1\\ \text{Vậy $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}$= 1}$ Bình luận
Đáp án: $1$ Giải thích các bước giải: Ta có: $\begin{split}2+\sqrt{5}&=\dfrac{8\left(2+\sqrt{5}\right)}{8}\\&=\dfrac{16+8\sqrt{5}}{8}\\&=\dfrac{1^3+3\cdot \:1^2\sqrt{5}+3\cdot \:1\cdot \left(\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^3}{8}\\&=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3\end{split}$ $\to \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ Tương tự $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ $\to \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=1$ Bình luận
Đáp án:
$1$
Giải thích các bước giải:
$\text{Đặt X =} \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}\\ \Rightarrow X^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 + (\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}})^3 + 3(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^2.(\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}) + 3.(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})(\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}})^2\\ \Leftrightarrow X^3 = 4 + 3.\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5})}.(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}+\sqrt[3]{2 – \sqrt{5}})\\ \Leftrightarrow X^3 = 4 -3X\\ \Leftrightarrow X^3 +3X – 4 = 0\\ \Leftrightarrow (X -1)(X^2 + X + 4) = 0\\ \Leftrightarrow X = 1\\ \text{Vậy $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}$= 1}$
Đáp án: $1$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{split}2+\sqrt{5}&=\dfrac{8\left(2+\sqrt{5}\right)}{8}\\&=\dfrac{16+8\sqrt{5}}{8}\\&=\dfrac{1^3+3\cdot \:1^2\sqrt{5}+3\cdot \:1\cdot \left(\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^3}{8}\\&=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3\end{split}$
$\to \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
Tương tự $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\to \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=1$