So sánh $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + …….+ $\frac{1}{2^{2004}}$ với `1` 27/08/2021 Bởi Serenity So sánh $\frac{1}{2}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ + …….+ $\frac{1}{2^{2004}}$ với `1`
Lời giải: Đặt `A = 1/2 + 1/(2^2) + 1/(2^3) + … + 1/(2^2004)` `⇒ 2A = 1 + 1/2 + 1/(2^2) + … + 1/(2^2003)` `⇒ 2A – A = 1 – 1/(2^2004)` `⇒ A = 1 – 1/(2^2004)` Vì `1/(2^2004) > 0` `⇒ A < 1` Vậy `1/2 + 1/(2^2) + 1/(2^3) + … + 1/(2^2004) < 1`. Bình luận
Đặt : `K=1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^2004` `->` `2K=2(1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^2004)` `->` `2K=` `1+1/2+1/2^2+…+1/2^2003` `->` `K=2K-K=` `1-1/2^2004` Dễ thấy `:` `1/2^2004>0` `->` `K<1` Vậy `:` `K<1` hay `1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^2004<1` Bình luận
Lời giải:
Đặt `A = 1/2 + 1/(2^2) + 1/(2^3) + … + 1/(2^2004)`
`⇒ 2A = 1 + 1/2 + 1/(2^2) + … + 1/(2^2003)`
`⇒ 2A – A = 1 – 1/(2^2004)`
`⇒ A = 1 – 1/(2^2004)`
Vì `1/(2^2004) > 0` `⇒ A < 1`
Vậy `1/2 + 1/(2^2) + 1/(2^3) + … + 1/(2^2004) < 1`.
Đặt : `K=1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^2004`
`->` `2K=2(1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^2004)`
`->` `2K=` `1+1/2+1/2^2+…+1/2^2003`
`->` `K=2K-K=` `1-1/2^2004`
Dễ thấy `:` `1/2^2004>0` `->` `K<1`
Vậy `:` `K<1` hay `1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^2004<1`