So sánh: x/y = x + 2018/y + 2018 biết x,y thuộc Z, y > 0

$\begin{array}{l} \dfrac{x}{y} = \dfrac{{x\left( {y + 2018} \right)}}{{y\left( {y + 2018} \right)}} = \dfrac{{xy + 2018x}}{{{y^2} + 2018y}}\\ \dfrac{{x + 2018}}{{y + 2018}} = \dfrac{{y\left( {x + 2018} \right)}}{{y\left( {y + 2018} \right)}} = \dfrac{{xy + 2018y}}{{{y^2} + 2018y}} \end{array}$

Vì $y>0$ nên $y^2+2018y$ nên bây giờ chỉ cần so sánh tử số của hai mẫu số.

$\begin{array}{l}  + x < y\\ \dfrac{x}{y} = \dfrac{{xy + 2018x}}{{{y^2} + 2018y}} < \dfrac{{xy + 2018y}}{{{y^2} + 2018y}} = \dfrac{{x + 2018}}{{y + 2018}}\\  + x = y\\  \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{xy + 2018x}}{{{y^2} + 2018y}} = \dfrac{{xy + 2018y}}{{{y^2} + 2018y}} = \dfrac{{x + 2018}}{{y + 2018}}\\  + x > y\\  \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{xy + 2018x}}{{{y^2} + 2018y}} > \dfrac{{xy + 2018y}}{{{y^2} + 2018y}} = \dfrac{{x + 2018}}{{y + 2018}} \end{array}$