$\sqrt[2]{x^2+xy+y^2}$ + $\sqrt[2]{x^2+xz+z^2}$ $\geq$ $\sqrt[2]{y^2+zy+z^2}$

0 bình luận về “$\sqrt[2]{x^2+xy+y^2}$ + $\sqrt[2]{x^2+xz+z^2}$ $\geq$ $\sqrt[2]{y^2+zy+z^2}$”

1. Đáp án:

   BĐT ở dưới tên là Minkosvky nếu b chưa học thì coi như đó là cách chứng minh.

   Giải thích các bước giải:

   Đặt `P=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}`
   `->2P=\sqrt{4x^2+4xy+4y^2}+\sqrt{4x^2+4xz+4z^2}`
   `->2P=\sqrt{4x^2+4xy+y^2+3y^2}+\sqrt{4x^2+4xz+z^2+3z^2}`
   `->2P=\sqrt{(2x+y)^2+3y^2}+\sqrt{(2x+z)^2+3z^2}`
   `->2P=\sqrt{(2x+y)^2+\sqrt{3y}^2}+\sqrt{(-2x-z)^2+\sqrt{3z}^2}`
   Cần CM BĐT sau:
   `\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}>=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}`
   `->a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}>=(a+c)^2+(b+d)^2`
   `->a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}>=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd`
   `->2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}>=2ac+2bd`
   `->\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}>=ac+bd`
   `->a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd`
   `->a^2d^2+b^2c^2-2abcd>=0`

   `->(ad-bc)^2>=0` luôn đúng
   Vào bài toán:
   `2P>=\sqrt{(2x+y-2x-z)^2+(\sqrt{3x}+\sqrt{3z})^2}`
   `->2P>=\sqrt{(y-z)^2+3(y+z)^2}`
   `->2P>=\sqrt{y^2-2yz+z^2+3y^2+6yz+3z^2}`
   `->2P>=\sqrt{4y^2+4yz+4z^2}`
   `->2P>=\sqrt{4(y^2+yz+z^2)}`
   `->P>=\sqrt{y^2+yz+z^2}(ĐPCM)`

   Bình luận