Ta viết lên bảng 2021 số:$1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};…;\dfrac{1}{2021}$
Ta thực hiện thao tác:xóa 3 số $x,y,z$ bất kì trên bảng và viết lại trên bảng số $x+y+z+xy+zx+yz+xyz.$Ta tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số.Hỏi đó là số nào?
Đáp án:
$2021$
Giải thích các bước giải:
Gọi dãy số ban đầu trên bảng là: $x; y; z; a; b; …$
Ta cộng $1$ từng số trên bảng, khi đó dãy số trên bảng sẽ là:
$x+1; y+1; z+1; a+1; b+1; …$ $(*)$
Đặt: $t=x+y+z+xy+zx+yz+xyz$
$⇔ t+1=x+y+z+xy+zx+yz+xyz+1$
$⇔ t+1=(x+1)+y(x+1)+z(x+1)+yz(x+1)$
$⇔ t+1=(x+1)(yz+y+z+1)$
$⇔ t+1=(x+1)(y+1)(z+1)$
Ta thay $3$ số $x+1; y+1; z+1$ trên bảng bằng $t+1$ thì dãy sẽ là:
$t+1; a+1; b+1; …$
Hay $(x+1)(y+1)(z+1); a+1; b+1; …$
Như vậy tích các số trong dãy (*) là không đổi sau mỗi lần thực hiện thao tác.
Gọi $k$ là số cuối cùng trên bảng
Khi đó, `k+1=(1+1).(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{3}+1)…(\frac{1}{2021}+1)`
`⇔ k+1=2.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}…\frac{2022}{2021}`
`⇔ k+1=2022`
`⇔ k=2021`
Vậy số cuối cùng trên bảng là $2021$