Ta viết lên bảng 2021 số:$1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};…;\dfrac{1}{2021}$ Ta thực hiện thao tác:xóa 3 số $x,y,z$ bất kì trên bảng và viế

Đáp án:

$2021$

Giải thích các bước giải:

Gọi dãy số ban đầu trên bảng là: $x; y; z; a; b; …$

Ta cộng $1$ từng số trên bảng, khi đó dãy số trên bảng sẽ là:

$x+1; y+1; z+1; a+1; b+1; …$ $(*)$

Đặt: $t=x+y+z+xy+zx+yz+xyz$

$⇔ t+1=x+y+z+xy+zx+yz+xyz+1$

$⇔ t+1=(x+1)+y(x+1)+z(x+1)+yz(x+1)$

$⇔ t+1=(x+1)(yz+y+z+1)$

$⇔ t+1=(x+1)(y+1)(z+1)$

Ta thay $3$ số $x+1; y+1; z+1$ trên bảng bằng $t+1$ thì dãy sẽ là:

$t+1; a+1; b+1; …$

Hay $(x+1)(y+1)(z+1); a+1; b+1; …$

Như vậy tích các số trong dãy (*) là không đổi sau mỗi lần thực hiện thao tác.

Gọi $k$ là số cuối cùng trên bảng

Khi đó, `k+1=(1+1).(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{3}+1)…(\frac{1}{2021}+1)`

`⇔ k+1=2.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}…\frac{2022}{2021}`

`⇔ k+1=2022`

`⇔ k=2021`

Vậy số cuối cùng trên bảng là $2021$