Tải đồ thị y = x mũ 4 – 2m x bình + m – 1 có 3 điểm cực trị liệu gốc tọa độ O là trực tâm thì giá trị của tham số m bằng
Tải đồ thị y = x mũ 4 – 2m x bình + m – 1 có 3 điểm cực trị liệu gốc tọa độ O là trực tâm thì giá trị của tham số m bằng
Ta xét
$y’ = 4x^3 – 4mx$
Xét ptrinh $y’ = 0$
$4x^3 – 4mx = 0$
$<-> 4x(x^2-m) = 0$
Vậy $x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{m}$
Để hso có 3 cực trị thì ptrinh y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, do đó $m > 0$.
Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị là $A(0, m-1), B(-\sqrt{m}, -m^2 + m-1), C(\sqrt{m}, -m^2 + m-1)$
Dễ thấy rằng tam giác ABC cân và AO luôn vuông góc với BC. Vậy để gốc tọa độ là trực tâm thì $OC \perp AB$.
Ta có
$\vec{OC} = (\sqrt{m}, -m^2 + m-1), \vec{AB} = (-\sqrt{m}, -m^2)$
Để $OC \perp AB$ thì $\vec{OC} . \vec{AB} = 0$ hay
$-m + (-m^2)(-m^2 + m -1) = 0$
$<-> -m + m^4 -m^3 + m^2 = 0$
$<-> m(m^3 – m^2 + m – 1) = 0$
$<-> m(m-1)(m^2 + 1) = 0$
Do $m^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $m > 0$ nên $m = 0$ hoặc $m = 1$
Kết hợp đk ta thấy $m = 1$.