Tam giác ABC
Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
I,K,R lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC
M,N,P theo thứ tự là trung điểm của BC,AC,AB
a c/m tứ giác MNIK,PNRK là hình chữ nhật
b c/m 6 điểm P,N,R,K,M,I cùng thuộc 1 đg tròn
Tam giác ABC
Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
I,K,R lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC
M,N,P theo thứ tự là trung điểm của BC,AC,AB
a c/m tứ giác MNIK,PNRK là hình chữ nhật
b c/m 6 điểm P,N,R,K,M,I cùng thuộc 1 đg tròn
a) Ta có M và N là trung điểm của BC và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN//AB và $MN = \dfrac{1}{2}AB$. (1)
Mặt khác, lại có I và K là trung điểm của AH và BH nên IK là đường trung bình của tam giác ABH nên IK// AB và $IK = \dfrac{1}{2} AB$. (2)
Từ (1), (2) ta suy ra trong tứ giác MNIK có MN//IK (cùng //AB) và MN = IK ($= \dfrac{1}{2} AB$)
Vậy tứ giác MNIK là hình bình hành.
Do IN// CF, mà $CF \perp MN$ (do $CF \perp AB$ và $AB // MN$)
nên $IN \perp MN$ hay $\widehat{MNI} = 90^{\circ}$.
Vậy tứ giác MNIK là hình chữ nhật.
CMTT ta cũng suy ra PNRK là hình chữ nhật.
b) Gọi O là giao điểm của MI và NK, O’ là giao của PR và NK.
Do MNIK là hình chữ nhật nên O là trung điểm MI và NK. Mặt khác, lại có PNRK là hình chữ nhật nên O’ cũng là trung điểm của PR và NK.
Vậy $O \equiv O’$.
Mặt khác, ta có
$\widehat{IKM} = \widehat{KMN} = \widehat{MNI} = \widehat{NIK} = \widehat{PKR} = \widehat{KRN} = \widehat{RNP} = \widehat{NPK} = 90^{\circ}$
Vậy các góc này đều chắn đường kính của đường tròn tâm O là trung điểm MI.
Vậy P, N, R, K, M, I thuộc đường tròn đường kính KN.