Tam giác ABC nhọn, đường cao AH. kẻ HD vuông góc với AB và HK vuông góc với AC.
A) AH. AH = AI. AB
B) ∆AIK ~ ∆ACB
Tam giác ABC nhọn, đường cao AH. kẻ HD vuông góc với AB và HK vuông góc với AC.
A) AH. AH = AI. AB
B) ∆AIK ~ ∆ACB
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$HI\perp AB;\, HK\perp AC$
Lời giải:
a) Xét $ΔAIH$ và $ΔAHB$ có:
\(\left.\begin{array}{l}
\widehat{I} = \widehat{H} = 90^\circ\\
\widehat{A}:\,\text{góc chung}
\end{array}\right\}\)
Do đó: $ΔAIH\sim ΔAHB\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AI}{AH}$
$\Rightarrow AH^2 = AI.AB\qquad (1)$
Chứng minh tương tự, ta được:
$ΔAKH \sim ΔAHC\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{AH} = \dfrac{AH}{AC}$
$\Rightarrow AH^2 = AK.AC\qquad (2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow AK.AC = AI.AB$
b) Ta có:
$AK.AC = AI.AB$ (câu a)
$\Rightarrow \dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AI}{AC}$
Xét $ΔAIK$ và $ΔACB$ có:
\(\left.\begin{array}{l}
\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AI}{AC}\quad (cmt)\\
\widehat{A}:\,\text{góc chung}
\end{array}\right\}\)
Do đó: $ΔAIK\sim ΔACB\, (c.g.c)$