Tam giác ABC thỏa mãn cos2A +$\frac{1}{64cos^{4}A}$ – (2cos2B + 4sinB) + $\frac{13}{4}$ $\leq$ 0. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.

0 bình luận về “Tam giác ABC thỏa mãn cos2A +$\frac{1}{64cos^{4}A}$ – (2cos2B + 4sinB) + $\frac{13}{4}$ $\leq$ 0. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Điều kiện : $ cos2A + \dfrac{1}{64cos^{4}A} – (2cos2B + 4sinB) + \dfrac{13}{4} ≤ 0 $

   $ ⇔ 2cos²A – 1 + \dfrac{1}{64cos^{4}A} – 2(1 – 2sin²B) – 4sinB + \dfrac{13}{4} ≤ 0 $

   $ ⇔ 2cos²A + \dfrac{1}{64cos^{4}A} + (2sinB – 1)² ≤ \dfrac{3}{4} (1)$

   Áp dụng BĐT Cô si ta có:

   $ 2cos²A + \dfrac{1}{64cos^{4}A} = cos²A + cos²A+ \dfrac{1}{64cos^{4}A}$

   $ ≥ 3\sqrt[3]{cos²A.cos²A.\dfrac{1}{4³cos^{4}A}} = \dfrac{3}{4} (2)$ 

   $(1); (2) ⇒ \left[ \begin{array}{l}2cos²A + \dfrac{1}{64cos^{4}A} = \dfrac{3}{4} \\2sinB – 1 = 0\end{array} \right.⇔ \left[ \begin{array}{l} cos²A = \dfrac{1}{64cos^{4}A} \\sinB = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

   $ ⇔ \left[ \begin{array}{l} cosA = \dfrac{1}{2} \\cosB = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.⇔ \left[ \begin{array}{l} A = 60^{0} \\B = 30^{0} \end{array} \right. ⇔ ΔABC$ vuông tại $C$

    

   Bình luận