tam giác ABC trọng tâm G. gọi M, N là các điểm xác định bởi vecto AM = 2 vecto AB, vecto AN = 2/5 vecto AC. CM M, N , G thẳng hàng

0 bình luận về “tam giác ABC trọng tâm G. gọi M, N là các điểm xác định bởi vecto AM = 2 vecto AB, vecto AN = 2/5 vecto AC. CM M, N , G thẳng hàng”

1. Đáp án:

   G, M, N thẳng hàng

   Giải thích các bước giải:

   Gọi H là trung điểm của BC

   Ta có:  

   \(
   \overrightarrow {AH}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)
   \)

   Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(
   \overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} 
   \)

   Suy ra: \(
   \overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)
   \)

   Lại có: \(
   \overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AN}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} 
   \)

   Thay vào biểu thức ban đầu ta được: 

   \(
   \begin{array}{l}
    \overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AM}  + \frac{5}{2}\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow {AM}  + \frac{5}{6}\overrightarrow {AN}  \\ 
     \Leftrightarrow 6\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AM}  + 5\overrightarrow {AN}  \\ 
     \Leftrightarrow (\overrightarrow {AG}  – \overrightarrow {AM} ) + (5\overrightarrow {AG}  – 5\overrightarrow {AN} ) = \overrightarrow 0  \\ 
     \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + 5.\overrightarrow {NG}  = \overrightarrow 0  \\ 
    \end{array}
   \)

   Suy ra: G, M, N thẳng hàng.

   Bình luận