`text{ Cho a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức}` `A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}`

Đáp án:

$A_{min}=1↔a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

Với $x,y,z>0$

$\to (x-y)^2(x+y)\ge0$

$\to (x-y)(x+y)(x-y)\ge0$

$\to (x^2-y^2)(x-y)\ge0$ 

$\to x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$

$\to x^2(x-y)+y^2(y-x)\ge0$

$\to x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0$

$\to x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$

$\to x^3+y^3\ge xy(x+y)$

Dấu $=$ xảy ra $↔x=y$

Áp dụng BĐT vừa chứng minh, ta có:

$A \ge \dfrac{ab(a+b)}{2ab}+\dfrac{bc(b+c)}{2bc}+\dfrac{ca(c+a)}{2ca}$

$=\dfrac{2(a+b+c)}{2}=a+b+c=1$

Dấu $=$ xảy ra $↔a=b=c=\dfrac{1}{3}$