`text{ Cho a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức}`
`A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}`
`text{ Cho a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức}`
`A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT : `x^3+y^3>=xy(x+y)` (“=” khi `x=y`)
`=>(a^3+b^3)/(2ab)>=(ab(a+b))/(2ab)=(a+b)/2`
Chứng minh tương tự :
`=>(b^3+c^3)/(2bc)>=(b+c)/2;(c^3+a^3)/(2ca)>=(c+a)/2`
`=>A>=(a+b)/2+(b+c)/2+(c+a)/2`
`<=>A>=(a+b+b+c+c+a)/2=a+b+c=1`
hay `Mi n_A=1`
Dấu “=” xảy ra khi : $\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}$
mà `a+b+c=1`
`=>a=b=c=1/3`
Đáp án:
$A_{min}=1↔a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Với $x,y,z>0$
$\to (x-y)^2(x+y)\ge0$
$\to (x-y)(x+y)(x-y)\ge0$
$\to (x^2-y^2)(x-y)\ge0$
$\to x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$
$\to x^2(x-y)+y^2(y-x)\ge0$
$\to x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0$
$\to x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$
$\to x^3+y^3\ge xy(x+y)$
Dấu $=$ xảy ra $↔x=y$
Áp dụng BĐT vừa chứng minh, ta có:
$A \ge \dfrac{ab(a+b)}{2ab}+\dfrac{bc(b+c)}{2bc}+\dfrac{ca(c+a)}{2ca}$
$=\dfrac{2(a+b+c)}{2}=a+b+c=1$
Dấu $=$ xảy ra $↔a=b=c=\dfrac{1}{3}$