$\text{Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn:}\\\begin{cases}x,y,x\le1\\x+y+z=\dfrac32\end{cases} \ \text{Tìm $Max$:}\\P=x^2+y^2+z^2$
$\text{Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn:}\\\begin{cases}x,y,x\le1\\x+y+z=\dfrac32\end{cases} \ \text{Tìm $Max$:}\\P=x^2+y^2+z^2$
Đáp án:
`Max_P=5/4<=>(x,y,z)=(0,1,1/2)` và các hoán vị
Giải thích các bước giải:
`0<=y,z<=1`
`=>1-y,1-z>=0`
`=>(1-y)(1-z)>=0`
`=>1-y-z+yz>=0`
`=>yz>=y+z-1`
`=>2yz>=2x+2z-2`
`=>P=x^2+y^2+z^2`
`=>P=x^2+(y^2+2yz+z^2)-2yz`
`=>P=x^2+(y+z)^2-2yz`
`=>P<=x^2-2(y+z-1)+(3/2-x)^2`
`=>P<=(3/2-x)^2-2(1/2-x)+x^2`
`=>P<=9/4-3x+x^2-1+2x+x^2`
`=>P<=5/4+2x^2-x`
Giả sử:
`x<=y<=z`
`=>x+x+x<=x+y+z=3/2`
`=>3x<=3/2`
`=>x<=1/2`
`0<=x<=1/2=>2x^2-x<=0`
`=>P<=5/4`
Dấu “=” xảy ra khi `(x,y,z)=(0,1,1/2)` và các hoán vị
Đáp án:
Ta có
`0 ≤ x,y,z ≤ 1`
`-> 1 – x , 1 – y, 1 – z ≥ 0`
`-> (1 – x)(1 – y)(1 – z) >= 0`
`-> (1 – x – y + xy)(1 – z) >= 0`
`-> 1 – x – y + xy – z + xz + yz – xyz >= 0`
`-> 1 + xy+ yz + zx – x – y – z – xyz >= 0`
`-> 1 + xy + yz + zx – 3/2 – xyz >= 0`
`-> xy + yz + zx – 1/2 – xyz >= 0`
`-> xy +yz + zx >= xyz + 1/2 >= 1/2`
`-> 2(xy + yz+ zx) >= 1`
Ta có
`P = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) `
`= 9/4 – 2(xy + yz + zx) <= 9/4 – 1 = 5/4`
Dấu “=” xảy ra `<=> (x,y,z)` là hoán vị của `(0,1, 1/2)`
Vậy `Max_{P}` là `5/4 <=> (x,y,z)` là hoán vị của `(0,1, 1/2)`
Giải thích các bước giải: