`text\{Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn: }` `x^2 + y^2 – z^2 + z + 1 = 2 ( x + y – xy )`

0 bình luận về “`text\{Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn: }` `x^2 + y^2 – z^2 + z + 1 = 2 ( x + y – xy )`”

1. Đáp án: Không tồn tại $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn đề

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $x^2+y^2-z^2+z+1=2(x+y-xy)$

   $\to x^2+y^2-2(x+y-xy)-z^2+z+1=0$

   $\to x^2+y^2-2(x+y)+2xy-z^2+z+1=0$

   $\to x^2+2xy+y^2-2(x+y)-z^2+z+1=0$

   $\to (x+y)^2-2(x+y)-z^2+z+1=0$

   $\to (x+y)^2-2(x+y)+1=z^2-z$

   $\to (x+y-1)^2=z^2-z$

   $\to 4(x+y-1)^2=4z^2-4z$

   $\to 4(x+y-1)^2=4z^2-4z+1-1$

   $\to 4(x+y-1)^2=(2z-1)^2-1$

   $\to (2z-1)^2-4(x+y-1)^2=1$

   $\to (2z-1)^2-(2x+2y-2)^2=1$

   $\to (2z-1+2x+2y-2)(2z-1-2x-2y+2)=1$

   $\to (2x+2y+2z-3)(-2x-2y+2z+1)=1$

   $\to (2x+2y+2z-3, -2x-2y+2z+1)$ là cặp ước của $1$ là $(1,1), (-1,-1)$

   Trường hợp $(2x+2y+2z-3, -2x-2y+2z+1)=(1,1)$

   $\to\begin{cases}2x+2y+2z-3=1\\-2x-2y+2z+1=1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}2x+2y+2z=4\\-2x-2y+2z=0\end{cases}$

   $\to\begin{cases}x+y+z=2\\-x-y+z=0\end{cases}$

   $\to\begin{cases}x+y+z=2\\x+y=z\end{cases}$

   $\to\begin{cases}z+z=2\\x+y=z\end{cases}$

   $\to\begin{cases}2z=2\\x+y=z\end{cases}$

   $\to\begin{cases}z=1\\x+y=1\end{cases}$

   Mà $x,y\in Z^+\to x,y\ge 1\to x+y\ge 2\to$Loại

   Trường hợp $(2x+2y+2z-3, -2x-2y+2z+1)=(-1,-1)$

   $\to\begin{cases}2x+2y+2z-3=-1\\-2x-2y+2z+1=-1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}2x+2y+2z=2\\-2x-2y+2z=-2\end{cases}$

   $\to\begin{cases}x+y+z=1\\-x-y+z=-1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}x+y+z=1\\z=x+y-1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}x+y+x+y-1=1\\z=x+y-1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}2(x+y)-1=1\\z=x+y-1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}2(x+y)=2\\z=x+y-1\end{cases}$

   $\to\begin{cases}x+y=1\\z=0\end{cases}$

   Mà $x,y\in Z^+\to x,y\ge 1\to x+y\ge 2\to$Loại

   $\to$Không tồn tại $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn đề

   Bình luận