tiếp nè Cho `a,b,c > 0 ; a + b + c = 3abc`. Tìm Min của `S = 1/a^7 + 1/b^7 + 1/c^7`

Ta có : $a+b+c=3abc$

$\to \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} = 3$

Đặt $\bigg(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\bigg) = (x,y,z)$ thì $x,y,z>0$

và $xy+yz+zx=3$

Ta có : $(x+y+z)^2 ≥ 3.(xy+yz+zx) = 9$

$\to x+y+z ≥ 3$

Áp dụng BĐT Cô – si cho các số dương có :

$x^7 + 1+1+1+1+1+1 ≥ 7x$

$\to x^7 ≥ 7x-6$

Tương tự có : $y^7 ≥ 7y – 6$, $z^7 ≥ 7z-6$

Do đó $S = x^7+y^7+z^7 ≥ 7.(x+y+z) – 18= 3$

Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=1$

Vậy Min $S = 3$ khi $a=b=c=1$