Tìm 3 số x,y ,z nguyên dương sao cho x+y-z=0 x^3+y^3-z^2=0

Đáp án: $(x,y,z)\in\{(1,2,3), (2,1,3), (2,2,4)\}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:
$x+y-z=0\to z=x+y$

Mà $x^3+y^3-z^2=0$

$\to x^3+y^3=z^2$

$\to (x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2$

$\to (x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+y)^2=0$

$\to (x+y)(x^2-xy+y^2-(x+y))=0$

Mà $x,y,z\in Z^+\to x,y,z>0\to x+y>0$

$\to x^2-xy+y^2-(x+y)=0$
$\to x^2+2xy+y^2-3xy-(x+y)=0$

$\to (x+y)^2-(x+y)=3xy$

Mà $xy\le\dfrac{(x+y)^2}{4}$

$\to (x+y)^2-(x+y)\le 3\cdot \dfrac{(x+y)^2}{4}$

$\to \dfrac14(x+y)^2-(x+y)\le 0$

$\to (x+y)(\dfrac14(x+y)-1)\le 0$

Lại có $x+y>0$

$\to \dfrac14(x+y)-1\le 0$

$\to \dfrac14(x+y)\le 1$

$\to x+y\le 4$

$\to 0<x+y\le 4$

$\to x+y\in\{1,2,3,4\}$

Trường hợp $1: x+y=1$

$\to \begin{cases}x+y-z=0\\x^3+y^3-z^2=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=x+y\\x^3+y^3=z^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=1\\x^3+y^3=1\end{cases}$

$\to x^3+y^3=1$

$\to x^3+(1-x)^3=1$ vì $x+y=1$

$\to 3x^2-3x+1=1$

$\to x^2-x=0$

$\to x(x-1)=0$

$\to x=0\to y=1$ hoặc $x=1\to y=0$ (loại vì $x,y>0$)

Trường hợp $2: x+y=2$

$\to \begin{cases}x+y-z=0\\x^3+y^3-z^2=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=x+y\\x^3+y^3=z^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=2\\x^3+y^3=4\end{cases}$

$\to x^3+y^3=4$

$\to (x+y)^3-3xy(x+y)=4$

$\to 2^3-3xy\cdot 2=4$

$\to xy=\dfrac23$ Loại vì $x,y\in Z$

Trường hợp $3: x+y=3$

$\to \begin{cases}x+y-z=0\\x^3+y^3-z^2=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=x+y\\x^3+y^3=z^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=3\\x^3+y^3=9\end{cases}$

$\to x^3+y^3=9$

$\to (x+y)^3-3xy(x+y)=9$

$\to 3^3-3xy\cdot 3=9$

$\to xy=2$

$\to x(3-x)=2$ vì $x+y=3$

$\to 3x-x^2=2$

$\to x^2-3x+2=0$

$\to (x-1)(x-2)=0$

$\to x\in\{1,2\}\to y\in\{2,1\}$

Trường hợp $3: x+y=4$

$\to \begin{cases}x+y-z=0\\x^3+y^3-z^2=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=x+y\\x^3+y^3=z^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}z=4\\x^3+y^3=16\end{cases}$

$\to x^3+y^3=16$

$\to (x+y)^3-3xy(x+y)=16$

$\to 4^3-3xy\cdot 4=16$

$\to xy=4$

$\to (x+y)^2=16=4xy$

$\to x^2+2xy+y^2=4xy$

$\to x^2-2xy+y^2=0$

$\to (x-y)^2=0$

$\to x-y=0$

$\to x=y$

$\to x=y=2$

Trả lời