Tìm 3 số x,y ,z nguyên dương sao cho x+y-z=0 x^3+y^3-z^2=0 ( các bạn giúp mình cáiiiiii)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $x+y-z=0 ⇔x+y=z$

Thế xuống phương trình dưới:

$x^3+y^3-(x+y)^2=0$

$⇔(x+y)(x^2+y^2-xy)-(x+y)^2=0$

$⇔(x+y)(x^2+y^2-xy-x-y)=0$

$⇔x^2+y^2-xy-x-y=0$ (do $x;y$ nguyên dương nên $x+y>0$)

$⇔x^2-(y+1)x+y^2-y=0$ (1)

Lớp 8 chưa học $Δ$ nên chắc phải dài dòng tiếp thế này:

$⇔x^2-(y+1)x+\dfrac{(y+1)^2}{4}+\dfrac{3y^2-6y-1}{4}=0$

$⇔\left(x-\dfrac{y+1}{2} \right)^2=\dfrac{-3x^2+6y+1}{4}$

Mà $\left(x-\dfrac{y+1}{2} \right)^2 \geq 0 ⇒\dfrac{-3y^2+6y+1}{4} \geq 0$

$⇒-3y^2+6y+1 \geq 0 ⇔4-3(y-1)^2 \geq 0$

$⇔(y-1)^2 \leq \dfrac{4}{3}$

$⇒\left[ \begin{array}{l}(y-1)^2=0\\(y-1)^2=1\end{array} \right.$

$⇒\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=0(loại)\\y=2\end{array} \right.$ $⇒\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=2\end{array} \right.$

Thay vào (1):

– Với $y=1$

$⇒x^2-2x=0⇒\left[ \begin{array}{l}x=0(loại)\\x=2\end{array} \right.$

$⇒z=x+y=3$

– Với $y=2$

$⇒x^2-3x+2=0⇒\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=2\end{array} \right.$

+ Với $x=1 ⇒z=x+y=3$

+ Với $x=2⇒z=x+y=4$

Vậy pt đã cho có 3 bộ nghiệm nguyên dương thỏa mãn:

$\left[ \begin{array}{l}(x;y;z)=(1;2;3)\\(x;y;z)=(2;1;3)\\(x;y;z)=(2;2;4)\end{array} \right.$