Tìm a,b,c nguyên sao cho a^2 + b^2 + c^2 < ab + 3b + 2c

Tìm a,b,c nguyên sao cho a^2 + b^2 + c^2 < ab + 3b + 2c

0 bình luận về “Tìm a,b,c nguyên sao cho a^2 + b^2 + c^2 < ab + 3b + 2c”

  1. Đáp án: Có 26 bộ số a. b, c nguyên thỏa

    (a; b; c) = (0; 1; 0); (1; 1; 0); (0; 2; 0); (1; 2; 0); (2; 2; 0); (1; 3; 0); (2; 3; 0); (- 1; 1; 1); (0 ; 1; 1); (1; 1; 1); (2; 1; 1); (0; 2; 1);(1; 2; 1); (2; 2; 1); (0; 3; 1); (1; 3; 1);(2; 3; 1); (3; 3; 1); (2; 4; 1); (0; 1; 2); (1; 1; 2); (0; 2; 2); (1; 2; 2); (2; 2; 2); (1; 3; 2); (2; 3; 2);

     

    Giải thích các bước giải:

    a² + b² + c² < ab + 3b + 2c

    ⇔ 4a² + 4b² + 4c² – 4ab – 12b – 8c < 0

    ⇔ (4a² – 4ab + b²) + (3b² – 12b + 12) + (4c² – 8c + 4) < 16

    ⇔ (2a – b)² + 3(b – 2)² + 4(c – 1)² < 16 (1)

    ⇒ 4(c – 1)² < 16 ⇔ (c – 1)² < 4 ⇔ – 2 < c – 1 < 2 ⇔ – 1 < c < 3 ⇒ c = 0; 1; 2

    @ Nếu c = 0 từ (1) suy ra

    (2a – b)² + 3(b – 2)² < 12 (2)

    ⇒ 3(b – 2)² < 12 ⇔ (b – 2)² < 4 ⇔ – 2 < b – 2 < 2 ⇔ 0 < b < 4 ⇒ b = 1; 2; 3

    – Với b = 1 từ (2) ⇒ (2a – 1)² < 9 ⇔ – 3 < 2a – 1 < 3 ⇔ – 1 < a < 2 ⇒ a = 0; 1

    – Với b = 2 từ (2) ⇒ (2a – 2)² < 12 ⇔ – 3 < 2a – 2 < 3 ⇔ – 1/2 < a < 5/2 ⇒ a = 0; 1; 2

    – Với b = 3 từ (2) ⇒ (2a – 3)² < 9 ⇔ – 3 < 2a – 3 < 3 ⇔ 0 < a < 3 ⇒ a = 1; 2

    @ Nếu c = 1 từ (1) suy ra

    (2a – b)² + 3(b – 2)² < 16 (3)

    ⇒ 3(b – 2)² < 16 ⇔ (b – 2)² = 4 ⇔ b – 2 = – 2; – 1; 0; 1; 2 ⇒ b = 0; 1 ; 2; 3; 4

    – Với b = 0 từ (3) ⇒ (2a – 0)² < 4 ⇔ 4a² < 4 không thỏa

    – Với b = 1 từ (3) ⇒ (2a – 1)² < 13 ⇔ – 3 ≤ 2a – 1 ≤ 3 ⇔ – 1 ≤ a ≤ 2 ⇒ a = – 1; 0; 1; 2

    – Với b = 2 từ (3) ⇒ (2a – 2)² < 16 ⇔ – 4 < 2a – 2 < 4 ⇔ – 1 < a < 3 ⇒ a = 0; 1; 2

    – Với b = 3 từ (3) ⇒ (2a – 3)² < 13 ⇔ – 3 ≤ 2a – 3 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ a ≤ 3 ⇒ a = 0; 1; 2; 3

    – Với b = 4 từ (3) ⇒ (2a – 4)² < 4 ⇔ – 2 < 2a – 4 < 2 ⇔ 1 < a < 3 ⇒ a = 2

    @ Nếu c = 2 từ (1) suy ra

    (2a – b)² + 3(b – 2)² < 12 (4)

    ⇒ 3(b – 2)² < 12 ⇔ (b – 2)² < 4 ⇔ – 2 < b – 2 < 2 ⇔ 0 < b < 4 ⇒ b = 1 ; 2; 3

    – Với b = 1 từ (2) ⇒ (2a – 1)² < 9 ⇔ – 3 < 2a – 1 < 3 ⇔ – 1 < a < 2 ⇒ a = 0; 1

    – Với b = 2 từ (2) ⇒ (2a – 2)² < 12 ⇔ – 3 < 2a – 2 < 3 ⇔ – 1/2 < a < 5/2 ⇒ a = 0; 1; 2

    – Với b = 3 từ (2) ⇒ (2a – 3)² < 9 ⇔ – 3 < 2a – 3 < 3 ⇔ 0 < a < 3 ⇒ a = 1; 2

    Bình luận

Viết một bình luận