tìm x, biết: 2.3^2 + 3.3^3 + 4.3^4 +…+ x.3^x = 2.3^x+11

Đáp án:

Ta có : 

`A = 2.3^2 + 3.3^3 + 4.3^4 + …. + x . 3^x = 2.3^x + 11`

Đặt `B =2.3^2 + 3.3^3 + 4.3^4 + …. + x . 3^x (1)`

`=> 3B = 2.3^3 + 3.3^4 + 4.3^5 + …. + x.3^{x+1} (2)`

Lấy (2) – (1) ta được

`2B = (2.3^3 – 3.3^3) + (3.3^4 – 4.3^4) + ….. + [(x – 1).3^x – x.3^x] + x.3^{x + 1} – 2.3^2`

` = -3^3 – 3^4 – ….. – 3^x + x.3^{x+1} – 18`

` = -(3^3 + 3^4 + …. + 3^x) + x.3^{x+1} – 18`

Đặt `C = 3^3 + 3^4 + …. + 3^x (3)`

`=> 3C = 3^4 + 3^5 + …. + 3^{x+1} (4)`

Lấy (4) trừ (3) ta được

`=> 2C = 3^{x+1} – 3^3`

`=> C = (3^{x+1} – 3^3)/2`

`=> 2B = -(3^{x+1} – 3^3)/2 + x.3^{x+1} – 18`

` = -(3^{x+1} – 3^3)/2 + (2x.3^{x+1})/2 – 36/2`

`= -(3^{x+1} – 27 + 2x.3^{x+1} – 36)/2`

`= -(3^{x+1} . (2x+1) – 63)/2`

`=> B = -(3^{x+1} . (2x+1) – 63)/2 : 2 = -(3^{x+1} . (2x+1) – 63)/4`

`=> -(3^{x+1} . (2x+1) – 63)/4 = 2.3^x + 11`

`=> -(3^{x+1} . (2x+1) – 63)/4 = (8.3^x + 44)/4`

`=> -(3^{x+1} .(2x + 1) – 63) = 8.3^x + 44`

`=> -3^{x+1} . (2x + 1) + 63 = 8.3^x + 44`

`=> 8.3^x + 3^{x+1} . (2x+1) = 63 – 44`

`=> 3^x . [8 + 3(2x+1)] = 19`

`=> 3^x . [8 + 6x + 3] = 19`

`=> 3^x . [11 + 6x] = 19`

Với `x = 0`

`=> 3^0 . [11 + 6.0] = 19`

`=> 11 = 19` < Vô lí>

Với `x > 0`

`=> 3^x` chia hết cho 3

`=> 3^x . [11 + 6x]` chia hết cho 3 

mà `19` không chia hết cho 3 ( mâu thuẫn)

Với `x < 0`

Lập luận tương tự

=> Vô lí

Vậy không có x thõa mãn

Giải thích các bước giải:

 

Trả lời