Tìm các cặp số nguyên dương a,b sao cho $a^{2}$ – 2 chia hết cho ab + 2 Cần gấp ạ…

0 bình luận về “Tìm các cặp số nguyên dương a,b sao cho $a^{2}$ – 2 chia hết cho ab + 2 Cần gấp ạ…”

1. Đáp án:

   $a=4;b=3$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $\begin{array}{l}
   \left( {{a^2} – 2} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
    \Rightarrow b\left( {{a^2} – 2} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
    \Leftrightarrow \left( {{a^2}b – 2b} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
    \Leftrightarrow \left( {a\left( {ab + 2} \right) – 2\left( {a + b} \right)} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
    \Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
    \Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 2} \right)\left( {k \in N*} \right)
   \end{array}$

   +) TH1: Nếu $k=1$ thì $2(a+b)=ab+2$

   $\begin{array}{l}
    \Leftrightarrow ab – 2a – 2b = 2\\
    \Leftrightarrow \left( {a – 2} \right)\left( {b – 2} \right) = 2
   \end{array}$

   $\to $ $a – 2,b – 2$ là cặp ước của $2$

   Mà $a,b \in N* \Rightarrow a – 2,b – 2 \ge  – 1$ nên:

   $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   a – 2 = 1\\
   b – 2 = 2
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   a – 2 = 2\\
   b – 2 = 1
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   a = 3;b = 4\\
   a = 4;b = 3
   \end{array} \right.$

   Thử lại: 

   +) $a=3;b=4$ thì $\dfrac{{{a^2} – 2}}{{ab + 2}} = \dfrac{{{3^2} – 2}}{{3.4 + 2}} = \dfrac{7}{{14}} = \dfrac{1}{2}\left( l \right)$

   +) $a=4;b=3$ thì $\dfrac{{{a^2} – 2}}{{ab + 2}} = \dfrac{{{4^2} – 2}}{{3.4 + 2}} = \dfrac{{14}}{{14}} = 1\left( c \right)$

   +)TH2: Nếu $k\ge 2$ ta có:

   $\begin{array}{l}
   2\left( {a + b} \right) \ge 2\left( {ab + 2} \right)\\
    \Leftrightarrow ab – a – b + 2 \le 0\\
    \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) + 1 \le 0
   \end{array}$

   Mà $a,b \in N* \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   a – 1 \ge 0\\
   b – 1 \ge 0
   \end{array} \right.$

   $ \Rightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) + 1 > 0$

   $\to k\ge 2$ Không tìm được $a,b$ thỏa mãn

   Vậy $a=4;b=3$

   Bình luận